Таблица 8.1.6. (продолжение)

Источник: Stenbit (1964), © 1964 IEEE

Так, коэффициентами полинома для кода (15,5) является 2467, что соответствует двоичной форме 10 100 110 111. Следовательно, порождающий полином равен р) = рЧ + рЧ рП+1.

Более общий список порождающих полиномов для БЧХ кодов дан Питерсоном и Уэлдоном (1972), которые дали таблицы множителей полиномов р"" +1 для т34.

8.1.4. Оптимальное декодирование мягких решений для линейных блоковых кодов

В этом подразделе мы рассмотрим качество линейных блоковых кодов в канале с АБГШ, когда на приёме используется оптимальное (без квантования) декодирование мягких решений. Символы кодового слова могут быть переданы посредством произвольных двоичных сигналов одним из методов, описанных в главе 5. Для наших целей мы рассмотрим двоичную (или четверичную) когерентную ФМ, что является наиболее эффективным методом, и двоичную ортогональную ЧМ с когерентным или некогерентным детектированием.

Пусть & означает энергию переданного сигнала на кодовое слово и пусть означает энергию сигнала, требуемую для передачи отдельного элемента (бита) кодового слова. Поскольку в кодовом слове п бит, то й=ий.Так как кодовые слова содержат к бит информации, то энергия на информационный бит

Считается, что все кодовые слова равновероятны с априорной вероятностью l/М.

Допустим, что символы кодового слова передаются посредством двоичной ФМ. Каждое кодовое слово отображается одним из М сигналов. Из главы 5 мы знаем, что приёмник, оптимальный по критерию минимума средней вероятности ошибки на кодовое слово, можно реализовать в канале с АБГШ в виде параллельного банка М фильтров, согласованных с М возможными сигналами. Выходы М согласованных фильтров в конце каждого сигнального интервала, который определяется передачей и символов кодового слова, сравниваются и выбирается кодовое слово, которому соответствует максимальный выход согласованного фильтра. Альтернативно можно использовать М взаимных корреляторов. В любом случае, реализацию приёмника можно упростить. Это значит, что эквивалентный оптимальный приёмник можно реализовать, используя единственный фильтр (или коррелятор), согласованный с двоичным ФМ сигналом, использованным для передачи каждого бита кодового слова, а за ним декодер, который формирует М величин для решения, соответствующих А/кодовым словам.

Для конкретности, пусть г, 7 = 1, 2, ...,/?, представляют п последовательных отсчётов

выхода единственного согласованного фильтра для конкретного кодового слова. Поскольку используется сигнал двоичной ФМ, выход г. можно выразить или так:

r.=V + «., (8.1.44)

когда7-й разряд кодового слова содержит «1», или так:

+ (8.1.45)

когда7"-й разряд содержит «О». Величины Ц} представляют АБГШ в отсчётных точках. Каждое п. имеет нулевое среднее и дисперсию Зная М возможных к передаче

кодовых слов и принятые значения {rJ, оптимальный декодер формирует М корреляционных метрик

CM,=c(r,C,) = X(2s-lb = 1,2,.(8.1.46) •

где обозначает символ на 7-ой позиции /-го кодового слова. Так, если с.=1, взвешивающий множитель 2с. -1 = 1, а если = О, взвешивающий множитель

2с,-1 = -1. Такое взвешивание приводит к тому, что корреляционная метрика, соответствующая действительно переданному кодовому слову, будет иметь среднюю величину Jn, в то время как другие М -1 метрик будет иметь меньшее значение.

Хотя вычисления, требуемые для формирования корреляционных метрик для мягкого декодирования согласно (8.1.46), относительно простые, всё же затруднительно вычислять (8.1.46) для всех возможных кодовых слов, когда число кодовых слов велико, например Л/>2°. В этих случаях всё же возможно реализовать декодирование мягких решений, используя алгоритмы, которые применяют технику для отбрасывания неправдоподобных кодовых слов без вычисления всего набора их корреляционных метрик, определяемых (8.1.46). Несколько типов такого декодирования мягких решений были описаны в литературе. Интересующихся этим читателей отошлём к статьям Форни (1966), Уэлдона (1971), Чейза (1972), Вайнберга и Вольфа (1973), Вольфа (1978) и Матиса и Модестино (1982).

Для определения вероятности ошибки блокового кода заметим, что, когда такой код применяется в двоичном симметричном канале, каким является канал с АБГШ, и когда осуществляется оптимальное декодирование мягких решений, то вероятность ошибки при передаче т-го кодового слова одинакова для всех т. Поэтому для простоты предположим, что передаётся кодовое слово С,, состоящее из одних нулей. Для правильного декодирования С, корреляционная метрика СМ, должна превышать все остальные М -1 корреляционные метрики СМ, т-2,Ъ, ...,М. Все метрики распределены по Гауссу. Среднее значение CAY, равно лп, в то время как средние значения для СЛ„,, W = 2, 3,..., М, равны w(l - 2w I n).

Дисперсия для каждой величины, участвующей в решении, равна д- Нахождение точного выражения для вероятности правильного декодирования или, что эквивалентно, нахождение вероятности ошибки в кодовом слове усложняется наличием корреляции между М корреляционными метриками. Коэффициенты взаимной корреляции между С, и другими М - 1 кодовыми словами равны

P„.=(l-2wjnl т2,3,...,М, (8.1.47)

где означает вес т-го кодового слова .

Вместо того, чтобы пытаться получить точную формулу для вероятности ошибки, мы обратимся к объединённой верхней границе. Вероятность того, что СМ > СМ,, равна

P,{m) = Q

(l-pj , (8.1.48)

где g=A - энергия сигнала кодового слова. Подставив для р„, значение из (8.1.47), а для g значение из (8.1.43.), получаем

М = Q[I~K"J " (8-1-49)

где - это ОСШ на бит, а - скорость кода.

Средняя вероятность ошибки кодового слова ограничена сверху суммой вероятностей ошибок двоичных событий, определяемых (8.1.49), т.е.

Рм ТРгЧ < Т0(у12уЛ„,). (8.1.50)

1Я=2 ш=2

Вычисление вероятности ошибки декодирования мягких решений согласно (8.1.50)