Рис. 2.1.12. Экспоненциальная верхня я границ;! дл1 gQT),

используемая чя получения вероятности хвоста (границ;! Чернов;!)

Но можно изменить порядок дифференцирования и вычисление математического ожидания так. что

d Qvit-s)

= 4(7-5)е-*

E{Ye)-bE{e)

Следовательно, величина v, которая обеспечивает плотную вер.чнюю границу определяется решением уравнения

E(YQ)-8E{e) = 0. (2.1171)

Пусть V является решением (2.1.171). Тогда из (2.1.169) следует, что верхняя фаница для вероятности одного хвоста определяется так:

Р(7>5)<е е

(2.1 172)

Это - граница Чернова для вероятности верхнего хвоста дискретной или непрерывной случайной величи1ни с нулевым средним. Эту границу можно использовать, чтобы

показать, что 0{х) , где 0{х) - площадь, определяющая вероятность хвоста

гауссовской ФПВ (см. задачу 2.18).

Верхнюю границу для вероятности нижнего хвоста можно получить аналогичным путем:

(2.1 173)

Р(7<5)<е-£ где V - решение (2.1.171) и 5 < 0.

Пример 2.1.6. Рассмотрим ФПВ Лапласа

которая проиллюстрирована на рис. 2.1.13.

Вычислим вероятность правого хвоста исходя из границы Чернова и сравним его с действительной вероятностью хвоста, которая равна

(2.1 174)

F(F>5)= Je-dy = U

(2.1.175)

Заметим, что Де"*) для действительных v не является характеристи1!ескои функцией у. Ее называют mon!eHTHoft производящей функцией y.

р(у)

Рис. 2.1.13. График ФПВ дня случайной величины, распределенной по Лапласу

Чтобы найти V из решения (2.1.171), мы должны определить моменты is(Уе*) и ir:(e). Для ФПВ (2.1.174) находим

(2.1.176)

Подставив эти моменты в (2.1.171), получим квадратное уравнение

v5 + 2v-5 = 0,

которое имеет решение

, -l±Vl + 5

(2.1.177)

Так как v должно быть положительной величиной, один из двух корней исключается. Таким образом,

v =--. • (2.1.178)

В заключение вычислим верхнюю границу в (2.1.172), ограничиваясь £(е*),

используя второе решение в (2.1.176) и подставляя для v решение (2.1.178). Результат равен

Р{¥Ъ) = --

2(-l + VlT5)

(2.1.179)

Для 5»1 из (2.1.179) следует

Р(Г>5)<е-. (2.1.180)

Заметим, что граница Чернова уменьшается экспоненциально с ростом 5. Следовательно, она тесно аппроксимирует действительную вероятность хвоста, определяемую (2.1.175). Напротив, чебышевская верхняя граница для вероятности верхнего хвоста, полученная как половина вероятности двух хвостов (вследствие симметрии ФПВ), равна

Р{У>Ъ)<..

Следовательно, эта граница очень неточная.

Если случайная величина имеет ненулевое среднее, граница Чернова может быть обобщена, как мы сейчас покажем

Если Y= X-ii\, имеем

P{Y > 5) = P(X - > 5) - P{X > + s) - p{x > 5„),

где 5„-/;/,+5.

Так как5 > О, то 5„ > . Пусть функция g{X) определяется как

о {х<ь„\

а верхняя граница как

()<е(- (2.1.182)

Далее исследование идентично шагам. отражённым в (2.1.169) (2.1.172). Окончательный результат таков:

(2.1.181)

Р[х>Ъ„)<е-Е где 5„. > и v является решением уравнения

E\Xq"\-?>J,

(2.1.183)

(2.1.184)

Аналогичным путем можно найти границы Чебышева для вероятности нижнего хвоста. Для 5 < О имеем

Р(Х-т <5)= Р(Х<т+5)Р(Х <bJ<E{e-). (2.1.185)

Из нашего предыдущего исследования очевидно, что (2,1.185) приводит к границе

р{х<Ь„)<е-Е где 5„ < /й и V является решением (2.1.184).

(2 1 186)

2.1.6. Суммы случайных величин и центральная предельная теорема

Выше мы рассмотрели вопрос о нахождении ФПВ для суммы статистически независимых случайных величин. В этом разделе мы снова рассмотрим су.мму статистически независимых случайных величин, но наш подход будет иным и не зависит от частных ФПВ случайных величин в сумме. В частности, предположим, что слагаемые суммы - статистически независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет ограниченные средние значения и ограниченную дисперсию.

Пусть Y определяется как нормированная сумма, называемая выборочным средним

1 " Y-TX .

(2.1.187)

Сначала определим верхние границы вероятности хвостов К, а затем докажем очень важную теорему, определяющую ФПВ 7в пределе, когда стремится к бесконечности.

Случайная величина Y, определенная (2.1.187), часто встречается при оценивании среднего случайной величины по ряду наблюдений /=1, 2, ..., . Другими словами, X, могут рассматриваться как независимые выборочные реализации из распределения Fy{x), а У является оценкой среднего Шх

Математическое ожидание У равно

Е{У) = ш,=±Е{Х,) = т,,.

Д1сперсия 7 равна