если суммировать информационную последовательность Ikyh*\---h*i-L \

масштабируемой последовательностью ошибок 2(8,8j,,eJ, ,) должна получиться

разрешённая последовательность, т.е. последовательность 4,4,,4+,. £,., должна иметь

значения, выбираемые из ряда +d,±2d,±...±{K4-\)d;

: для к <m<k+l сумма метрик ветвей оцениваемого пути превышает сумму метрик

ветвей правильного пути.

Вероятность появления Ез равна

Р(Е,) = Р

к+1-\ ik

j-0 ) i-k \ jo

(10.1.34)

(10.1.35)

где {г,}-вещественная белая гауссовская шумовая последовательность. Подстановка (10.1.35) в (10.1.34) даёт

Р(Е,) = Р

t+.-l

4Z3 Z/.-. <-4Z Z/.-.

где Zj = 0 для j<k и j>k+l-L-\. Если определим

a. =Zs.-7 тогда (10.1.36) можно выразить так

р(£з)= Z«.n<-Z-

,y=0 J

(10.1.36)

(10.1.37)

(10.1.38)

где множитель 4d, общий для обоих слагаемых исключен. Теперь (10.1.38) как раз определяет вероятность того, что линейная комбинация статистически независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним меньше некоторого отрицательного числа. Т.е.

2 k+I-l

Для удобства определим

к+1-l к+1-l

54e)=Z«.-Z Tffi.-j

(10.1.39)

(10.1.40)

где Sj-O для j<k и j>k+l-L-\. Заметим, что {а,},определяемые свёрткой {/} и {е}, являются коэффициентами полинома

a(z) = F(z)E(z) = a,+a,„z-+... + a,„ .z-(-\ (10.1.41) Далее 5(s) просто равно коэффициенту при г° в полиноме

a(z)a(z-) = F(z)F(z-)e(z)e(r->) = jr(z)8(z)e(z-). (10.1.42)

Мы назовем 5(8) евклидовым весом ошибочного события 8

Альтернативный метод для представление результата свертки {fj} и {с[]}-это матричная форма

a = ef,

где а-/,-мерный вектор, f - (Z, +1)-мерный вектор, а e-/x(L + l) матрица:

Jfc+M

о о о

о о о

k+l-L-\

(10.1.43)

Тогда

5(e) = aa = fVef =fAf, где А (L +1) X (Z, +1) - матрица вида

"Ро Pi Р2 - Pl Р, Ро Pi - Pl-1

Р2 Pi Ро Pi Pl-2

A = ee =

LPl -

Po J

(10.1.44)

(10.1.45)

t+;-i-m

(10.1.46)

Мы можем использовать или (10.1.40) и (10.1.41) или (10.1.45) и (10.1.46) для расчёта вероятности ошибки. Мы обсудим эти вычисления позже. Теперь же мы сделаем вывод, что вероятность подсобытия £3, определяемого (10.1.39), можно выразить так

5\s)

flYcpSs)

где мы использовали отношение

.2 3

(10.1.47)

(10.1.48)

Для исключения t/, а = ТР I. Заметим, что в отсутствии МСИ 5(е) = 1 и Р{Е

пропорционально вероятности ошибки на символ в М-позиционной AM.

Вероятность подсобытия зависит только от статистических свойств входной последовательности. Мы предположим, что информационные символы равновероятны и что символы в передаваемой последовательности статистически независимы. Тогда для ошибки вида 8,1 = 7, 7 = 1, 2,..., М -1 имеется M-j возможных значений I., таких что

= /,. + 2ds., следовательно

(10.1.49)

Вероятность подсобытия E, значительно более трудно вычислить точно из-за ее зависимости от подсобытия Ез. Это значит, что мы должны вычислять Р(£,£"з). Однако

/(£,£з) = 1-/,, где - вероятность ошибки на символ. Следовательно P(Ei\Ej)

хорошо аппроксимируется (и ограничено сверху) единицей для разумных низких значений вероятности ошибки. Таким образом, вероятность ошибочного события е хорошо аппроксимируется и ограничена сверху так:

Р(г)<0

(А/--1

(10.1.50)

Пусть Е является набором всех ошибочных событий е , начавшихся в момент к и пусть и(е) является соответствующим числом ненулевых компонент (весом Хемминга или числом ошибочных символов) в каждом ошибочном событий 8. Тогда вероятность ошибки на символ ограничена сверху (объединённая граница) так

(10.1.51)

Теперь пусть D является множеством всех 5(£). Для каждого 5 е £), пусть Е являются подмножеством ошибочных событий для которых 5(e) = 5. Тогда (10.1.51) можно выразить так

/ I-:-л г , , . ,

ееЯ; 1=0

eeffj J О

(10.1.52)

(10.1.53)

Выражение для вероятности ошибки в (10.1.52) похоже по форме на вероятность ошибки для свёрточного кода при детектировании мягких решений, определяемая (8.2.26). Взвешивающие множители {К} можно определить посредством диаграммы состояний

ошибок, которая схожа диаграмме состояний свёрточного кодера. Этот подход был показан Форни (1972) и Витерби и Омура (1979).

В общем, однако, использование диаграмм состояний ошибок для вычисления утомительно. Вместо этого мы можем упростить вычисление , сосредоточившись на основной член суммы (10.1.52). Из-за экспоненциальной зависимости каждого слагаемого

слагаемым, соответствующим Тогда вероятность ошибки на

суммы, выражение в основном определяется

минимальному значению 5, которое обозначим 5,„. символ можно аппроксимировать так

ееЯ,

и(е) П

1=0 Л/

(10.1.54)

(10.1.55)