в общем 5<1. Таким образом, 101g5i„ представляет потери в ОСШ, обусловленные МСИ.

Минимальное значение 5 можно определить или из (10.1.40) или из оценки квадратичной формы (10.1.44) для различных последовательностей ошибок. В следующих двух примерах мы используем (10.1.40).

Пример 10.1.3. Рассмотрим двухпутевой канал ( = l) с произвольными коэффициентами и /,, удовлетворяющих условию /;= 1. Характеристика канала равна

F(z) = f,+f,2\ (10.1.56) Для ошибочного события длиной п

8(z) = 8o+s,z-+... + E„ ,z-"-\ W>1. (10.1.57) Произведение a(z) - F(z)8(z) можно выразить так

a(z) = ao+a,z-+... + a„z-", (10.1.58) где а, - So/g, а а„ - fг„ . Поскольку О, е, О и

5\г) = ±а1, (10.1.59)

то следуег что > + = 1.

Действительно 5,„ =1, когда возникает одна ошибка, т.е. e(z) = e„. Таким образом

заключаем, что в этом случае нет потерь в ОСШ при максимально правдоподобной оценке информационного символа, когда длина дисперсии канала (канального расстояния) равна 2.

Пример 10.1.4. Контролируемое МСИ при сигнале с парциальным откликом можно рассматривать как результат генерации канала с временным рассеянием. Таким образом, МСИ от дуобинарного импульса можно представить через (нормированную) канальную характеристику.

F{z) = 4\ + yfz- (10.1.60)

Аналогично представление для модифицированного дуобинарного импульса равна ] F(z) = -z- (10.1.61)

Минимальное расстояние 5,„ = 1 для любого ошибочного события в виде

8(z) = ±(l-z -Z---... z--О, . п>\ (10.1.62)

для канала, определяемого (10.1.60), поскольку

a(z) = ±Vi + Viz"

Аналогично, когда

e(z) = ±(l + z-+z-+... + z-f"), nl, (10.1.63)

5 = 1 для канала, определяемого (10.1.61), поскольку

a(z) = ±y[l-4z-".

Таким образом, использование МППО в случае этих двух сигнальных откликов не ведет к потере в ОСШ. В противоположность этому, субоптимальное посимвольное детектирование, описанное выше, ведет к потере в 2,1 дБ.

Константу ЛГд для этих двух сигналов легко рассчитать. С предкодированием число

выходных ошибочных символов (вес Хемминга), связанное с ошибочными событиями (10.1.62) и (10.1.63) равно 2. Таким образом

Гм-iY

-2(М-1).

(10.1.64)

С другой стороны, без предкодирования, эти ошибочные события ведут к ошибке в п символах и, следовательно.

л»1

= 2М(М-\)

(10.1.65)

Как заключительное упражнение мы рассмотрим оценивание 6;„ из квадратичной формы (10.1.44). Матрица А в (10.1.44) положительно определённая, следовательно, все её собственные значения положительные. Если {ц (е)} являются собственными значениями, а являются соответствующими ортогональными собственными векторами А, тогда для ошибочного события 8 , квадратичную форма (10.1.44) можно представить так:

5(e)-ZH,(e)r v,(8)

(10.1.66)

Другими словами, 5" выражается как линейная комбинация квадратов проекций

канального вектора f на собственные векторы А. Каждый квадрат проекции в сумме взвешивается соответствующим собственным значением р,(8), Л = 1, 2, ...Z, + l. Тогда

6L-min 5(8)

(10.1.67)

Интересно отметить, что наихудшую характеристику канала с рассеянием заданной длины L +1 можно получить, найдя собственный вектор, соответствующий минимальному собственному значению. Так если х,„(е)-минимальное собственное значение для заданного ошибочного события е, а v,„(8), является соответствующим собственным вектором, тогда

™п = min ц™„ (е). f = mm v,„ (е) и = .

Пример 10.1.5. Определим наихудший канал с рассеянием во времени длиной 3 (L-2), найдя минимальное собственное значение А для различных ошибочных событий. Итак,

где /о, /i и /2 - компоненты собственного вектора А, соответствующие минимальному собственному значению. Ошибочное событие вида

8(Z) = 1-Z-

ведёт к матрице

2 -1 -1 2 О -1

О -1 2

которая имеет собственные значения х, =2, i2=2 + V2, Цз=2-л/2. Собственный вектор, соответствующий Цз, равен

± JI ±

.2 у 2 2

(10.1.68)

Мы также хотим рассмотреть дуальное ошибочное событие

8(Z) = 1-Z-,

которое ведет к матрице

l-ln

2 1 О А= 1 2 1 О 1 2

Эта матрица имеет те же собственные значения, как для e(z) = 1 - z". Соответствующий собственный вектор для Цз - 2 - V2 равен

-il- (10.1.69)

Другое ошибочное событие ведет к большим значениям р.,„. Таким образом, М-тш = 2-V2 и наихудший канал характеризуется собственным вектором

Vi 1]или[-1 Vi -i. Потеря в ОСШ для канала равна

-101оя5„=-101овц„=2,ЗдБ. Повторение приведённых выше вычислений для каналов с /,=3,4 и 5 дает результаты, данные в табл. 10.1.1.

Таблица 10.1.1. Максимальные потери качества и соответствующие характеристики канала

10.2. линейное выравнивание

Алгоритм МППО для канала с МСИ имеет вычислительную сложность, которая возрастает экспоненциально с длиной временного рассеяния в канале. Если объем алфавита символов равно М, а число интерферирующих символов, обуславливающих МСИ, равно L, алгоритм Витерби вычисляют Л/" метрик для каждого нового принимаемого символа. Для большинства каналов, представляющих практический интерес, такая большая вычислительная сложность чрезмерно высока для её реализации.

В этом и последующих разделах мы опишем два подхода к субоптимальному канальному выравниванию для компенсации МСИ. Один подход использует линейный трансверсальный фильтр, который описывается в этом разделе. Структура этого фильтра имеет вычислительную сложность, являющзпося линейной функцией от величины канального рассеяния L.

Линейный фильтр, наиболее часто используемый для выравнивания, это трансверсальный фильтр, показанный на рис. 10.2.1.

Его входом является последовательность {и}, определяемая (10.1.16), а его выходом

являются оценки информационной последовательности {У.} . Оценка А-го символа можно выразить так

j=-K

где {Cj} является 2К + \ комплексно-значных взвешивающих коэффициентов для ячеек фильтра. Оценка 7. квантуется до ближайшего (по расстоянию) информационного