(2.2.12)

для всех значений 1, и и для всех положительных целых it и т. Процессы называются иекоррелированными, если ф (/,,/j) = {х,н) • Следовательно, йд,, ,2) = О Комплексный случайный npoifecc z{t) определяется как

z{t)-X{t)+jY{t), (2.2.11)

где Х{1) и Y(l) являются случайными процессами. СФПВ случайных величин z,=z[f), / = 1, 2, и, дается СФПВ компонентов {X,,y), i-],2,...,n. Так, ФПВ, которая характеризует z, , /=1, 2, л, равна

Комплексный случайный процесс Z(/) встречается при представлении узкополосного шума на выходе полосового фильтра через его эквивалентные низкочастотные компоненты. Важной характеристикой такого процесса является его автокорреляционная функция. Эта функция определяется так:

фЛ>)=т%2,;)=и[(А,. +д)(х -jY,) = =i {ф „ ,Ф К ( 2)+у[ф, V а)- к 2)]},

где ф, v(.г) и ф(/,,/2) - функции автокорреляции X(f) и У(/) соответственно, а

y-xihh) " xyih)~ У взаимной корреляции. Множитель 1/2 при определении

функции автокорреляции комплексного случайного процесса является произвольным,- но он дает математически удобную нормировку, как мы покажем в нашем рассмотрении таких процессов в гл. 4.

Если Х(/) и y(t) являются совместно и индивидуально стационарными, функция автокорреляции Z(/)

Ф«(/..)-Ф.-..0,-2)-Ф.Лс),

где /2= /i-T. Комплексное сопряжение для (2 2.12)

Ф:Лт) = Ф,Х .) = iE(zIZ,.)J-t). (2.2.13)

Следовательно, ф. (т) = ф. (- т).

Теперь допустим, что z{/)-X{t)+ jY{t) и W{t) - U{t) iV{t) - это два комплексных случайных процесса. Функции взаимной корреляции z{1) и W{t) определяется как

-h)=iE[z,w:)=iEx, +jy,Xl\ -jk\ --

- \ {ф™ (/,,/2) + Ф,. ./2) + j[yu ,г) Ф™ {t,2)]}-

Если Д/), y{t\ U(t) и V(t) попарно стационарны, функция взаимной корреляции (2.2.14) является функцией от разности времени xlx-ij. Наконец,

Ф:.(т) -\e[z:W, ) = Д;) = ф,„.,(-т). (2.2.15)

2.2.2. Спектральная плотность мощности

Частотный состав сигнала - его базовая характеристика, которой один сигнал отличается от другого. В общем, сигнал можно классифицировать как имеющий или финитную (ненулевую) среднюю мощность (и неограниченную энергию) или ограниченную энергию. Частотный состав сигнала с ограниченной энергией получается как преобразование Фурье соответствующей функции времени. Если сигнал периодический, его энергия не ограничена и, следовательно, его преобразование Фурье не

(2.2.14)

существует Для спектрального анализа периодический сигнал представляют рядом Фурье Посредством такого представления коэффициенты Фурье определяют распределение мощности на различных дискретных частотных компонентах.

Стационарный случайный процесс имеет неограниченную энергию и, следовательно, его преобразование Фурье не существует. Спектральные характеристики случайного сигнала можно получить путем вычисления преобразования Фурье автокорреляционной функции, т.е. распределение мощности по частотам определяется формулой

ф(f) = fJ{x)Q"dx. (2.2.16)

Обратное преобразование Фурье дает

ф(х) = £ф(/)е/. (2,2 17)

Можно видеть, что

ф(0) = £ф(/)# = 4f) О- (2.2,18)

Поскольку Ф(0) определяет среднюю мощность случайного сигнала, которая равна площади под кривой Ф(/), то Ф(/) определяет распределение мощности как функция частоты. Поэтому Ф(/) называют спектральной плотностью мощности случайного процесса

Если случайный процесс вещественный, ф(т) - вещественная и четная функция и, следовательно, Ф(/)-также вещественная и четная функция. С другой стороны, если процесс комплексный, ф(т) = ф*(- т) и, следовательно,

ф*(/) = "ф*(т)е=Л =

" (2 2 19)

= f " ф*(- т) e-Vx = f" ф(т) Q--dx = Ф(/).

Значит, Ф(/) - вещественная функция.

Спектральную плотность мощности можно определить и для совместно стационарных процессов Х{{) и У(/), которые имеют взаимную функцию корреляции ф..!).

Преобразование Фурье от ф, ,,(т), т.е.

= . J.y"dx, (2.2.20)

называют взаимной спектральной плотностью мощности.

Если мы возьмем сопряженные значения двух частей (2.2.20), получим

М = jjIyWe" = £Ф(- -t)e-"T = £ф.Дх)е "dx = Ф{/). (2.2 21)

Это соотношение справедливо в любом случае. Однако если X{t) и Y{f) - вещественные случайные процессы, то

<(/) = ZjMdx = Ф.(-/). (2.2.22)

Объединяя результаты и (2.2.22), находим, что взаимная спектральная

плотность мощности двух вещественных процессов удовлетворяет условию

Фз.(/) = ФлД-/)- (2.2.23)

2.2.3. Отклик линейной стационарной системы на случайный входной сигнал

Рассмотрим линейную стационарную систему (фильтр), которая характеризуется своей импульсной характеристикой А(/) или, что эквивалентно, своей частотной характеристикой Я(/), где h(j) и H(J) связаны парой преобразования Фурье. Пусть x(J) означает входной, а

y{t) - выходной сигналы системы. Выход системы можно выразить интегралом свертки

y{t) = Г h{x)x{t x)dx. (2.2.24)

J-оо

Теперь предположим, что x(t) является реализацией стационарного случайного процесса Д/). Тогда выход Х) является реализацией случайного процесса Y(j). Мы хотим определить математическое ожидание и функцию корреляции выхода.

Поскольку свертка - это линейная операция над входным сигналом, математическое ожидание интеграла равно интегралу от математического ожидания подынтегральной функции. Таким образом, математическое ожидание Y{1)

= e[Y{t)\ = lhix) e[X{t - x)]dz = .

" (2.2.25)

= /и, hix)dx = mR{0),

J-ao

где Я(0) - коэффициент передачи (передаточная функция) линейной системы при fO. Следовательно, среднее значение выходного процесса постоянно. Функция корреляции выхода

Последнее выражение показывает, что двойной интеграл является функцией разности отсчетов времени А1-/2. Другими словами, если входной процесс стационарный, выходной процесс также стационарен. Следовательно,

Ф(т) = ££лЧа)ф)ф,,(т:+а-р)с/ас/р. (2.2.26)

Взяв преобразование Фурье от обеих частей (2.2.26), получим спектральную плотность мощности выходного процесса в виде

ф>.(/)=£ф.()-"=

(2.2.27)

-."J2Jlл•(a)ф)ф„(т+a-p)eVтaP-Ф„(/)я(/).

Таким образом, мы имеем важный результат, заключающийся в том, что спектральная плотность мощности выходного сигнала равна произведению спектральной плотности мощности входного сигнала и квадрата модуля частотной характеристики системы.

При расчёте автокорреляционной функции ФСт) обычно легче определить

спектральную плотность мощности Ф(/) и затем вычислить обратное преобразование Фурье. Таким образом, имеем

Ф.. = LAfhd/ = iyMMff e--V/. (2.2.28) Видим, что средняя мощность выходного сигнала

Ф>.(0) = £ф>:(/)я(/)#. (2.2.29)

Так как ф(о) = то

£фЛ/)к(/р/>о.

Допустим, что Я(/)[ =1 для некоторого малого интервала /< f<fi» вне

этого интервала. Тогда