x,=\1h\t)Kt + kT)dt,

то используя теорему Парсеваля имеем

27cJ

Я(со) eVco

(10.2.14)

где Я(со)- преобразование Фурье от h{i).}lo интеграл в 10.2.14 можно выразить в форме

С0 + -

Теперь преобразование Фурье (дискретное) равно

к=-оо

а обратное преобразование Фурье легко выразить так

Хк =

-я Г

X(e")edai.

(10.2.15)

(10.2.16)

(10.2.17)

Из сравнения (10.2.15) и (10.2.17) мы получаем желательное соотношение между .(е-") и Я(со) . Оно таково

Х(е<) = ±Н

05 +

(10.2.18)

где правая часть (10.2.18) называется сложенным спектром Я(со). Мы также видим, что Я(м) где (со) - преобразование Фурье от сигнала x{t), а х(/)-отклик

согласованного фильтра на входное воздействие h{l). Следовательно, правую часть (10.2.18) можно также выразить через Х{(й).

Подставив (е*) согласно (10.2.18) в (10.2.13), получаем желательное выражение для ОСШ в виде

Н(а + 2ш1/Т)

(10.2.19)

Мы видим, что если сложенная спектральная характеристика Я(со)(" имеет нули,

интеграл оказывается неограниченным, а ОСШ становится равным нулю. Другими словами, качество эквалайзера плохое всякий раз, когда сложенная спектральная характеристика проходит через нуль или имеет малое значение. Такое поведение возникает прежде всего потому, что эквалайзер, устраняя МСИ, увеличивает аддитивный шум. Например, если канал имеет нуль в своей частотной характеристике, линейный ЭНВП пытается это компенсировать введением неограниченного усиления на этой частоте. Но такая компенсация искажений в канале достигается ценой увеличения аддитивного шума. С другой стороны, идеальный канал, связанный с подходящим синггезом, который ведёт к отсутствию МСИ, будет иметь сложенный спектр, который удовлетворяет условию:

С0 + -

= Т,

В этом случае ОСШ достигает максимального значения, а именно

(10.2.20)

Эквалайзер ограниченной длины. Теперь обратим наше внимание на эквалайзер, имеющий 2К + \ ячеек. Поскольку Cj =0 для \j\> К свёртка от {/„} и равно нулю вне области -К <n<K + L-\. Это значит, что q„=0 для w<-К и п>К +L-1. При нормировке к единице, пиковое искажение равно

K+L 1

п=-К 11*0

(10.2.22)

Хотя эквалайзер имеет 2А! + 1 регулируемых параметров, имеется 2K+L ненулевых значений откликов {q}. Следовательно, в общем невозможно полностью исключить МСИ

на выходе эквалайзера. Здесь всегда имеется остаточная интерференция даже при использовании оптимальных коэффициентов. Проблема заключается в минимизации 9){с) по коэффициентам j).

Лакки (1965) показал, что пиковое искажение, определяемое (10.2.22), является выпуклой функцией коэффициентов {с}. Это значит, .что она обладает глобальным

минимумом, а не относительным минимумом. Её минимизацию можно выполнить численно, например, методом скорейшего спуска. Немного больше можно сказать об общем решении этой проблемы минимизации. Однако, для одного частного, но важного случая, решение по минимизации 3)(с) известно. Это случай, когда искажение на выходе эквалайзера, определяемое как

Oo=-Zl Jo

(10.2.23)

меньше единицы. Это условие эквивалентно наличия открытого глазка априори до выравнивания. Это значит, что МСИ не настолько тяжёлая, чтобы закрыть глазок. При этом условии пиковое искажение 2)(с) минимизируется выбором коэффициентов

эквалайзера для обеспечения f/„ = О для 1< п\<К и qo = \. фугими словами, общее

решение по минимизации 2)(с), когда Д <1, является «нуль-форсированное» решение для

в области 1 < < К. Однако величины j для K + \<}i<K + L-\ в общем

ненулевые. Эти ненулевые величины образуют остаточную МСИ на выходе эквалайзера.

10.2.2. Критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО)

При использовании критерия минимума СКО, взвешивающие коэффициенты ячеек {б} эквалайзера подстраиваются так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки

8, =/,-/,, (10.2.24)

где 4 информационный символ, переданный на -ом сигнальном интервале, а 4 -оценка этого символа на выходе эквалайзера, определяемая (10.2.1). Если информационные символы [l] комплексные, то показатель качества при СКО критерия, обозначаемый J, определяется так

J = £8,f-=ii/,-/,f". (10.2.25)

С другой стороны, когда информационные символы вещественные, показатель качества просто равен квадрату вещественной величины 8к. В любом случае, J является

квадратичной функцией коэффициентов эквалайзера При дальнейшем обсуждении мы рассмотрим минимизацию комплексной формы, даваемой (10.2.25).

Эквалайзер неограниченной длины. Сначала определим взвешивающие коэффициенты ячеек, которые минимизируют J, когда эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. В этом случае, оценка Д определяется так

(10.2.26)

Подстановка (10.2.26) в выражение для J, определяемая (10.2.25), и расширение результата приводит к квадратичной функции от коэффициентов {с.}. Эту функцию можно

легко минимизировать по {с:} посредством решения системы (неограниченной) линейных

уравнений для {cj}. Альтернативно, систему линейных уравнений можно получить путём

использования принципа ортогональности при среднеквадратичном оценивании. Это значит, мы выбираем коэффициенты {г} такие, что ошибка Sk ортогональна сигнальной

последовательности и] , для -оо < / < оо. То есть

Е(г,м1 ,) = 0, -оо</<оо (10.2.27)

Подстановка е в (10.2.27) даёт

к-1

или, что эквивалентно.

с.Е(щ У, ,) = ВДо; ,), - 00 < / < оо.

(10.2.28)

Чтобы вычислить моменты в (10.2.28), мы используем выражение для и., даваемое (10.1.16). Таким образом, получим

по О (при других /, /)

I о (при других /)

(10.2.30)

Теперь, если подставим (10.2.29) и (10.2.30) в (10.2.28) и возьмём 2-преобразование от обеих частей результирующего уравнения, мы находим

(10.2.31)

Следовательно, передаточная функция эквалайзера, основанного на критерии минимума СКО, равна .

C(z) =

F(z)F\z-) + N„

(10.2.32)

Если обеляющий фильтр включён в C{z), мы получаем эквивалентный эквалайзер с передаточной функцией

C(z) =--=---• (10.2.33)

F(z)F\z-) + N, X(z) + N,