Видим, что единственная разница между этим выражением для C(z) и тем, которое базируется на критерии пикового искажения - это спектральная плотность шума Л, которая появилась в (10.2.33). Если N- очень мало по сравнению с сигналом, коэффициенты, которые минимизируют пиковые искажения 3)(с) приближённо равны коэффициентам, которые минимизируют по СКО показатель качества J. Это значит, что в пределе, когда ло -> о, два критерия дают одинаковое решение для взвешивающих

коэффициентов. Следовательно, когда N=0, минимизация СКО ведёт к полному

исключению МСИ. С другой стороны, это не так, когда NgO.B общем, когда NqJ!0, оба

критерия дают остаточное МСИ и аддитивный шум на выходе эквалайзера.

Меру остаточного МСИ и аддитивного шума на выходе эквалайзера можно получить расчётом минимальной величины J, обозначаемую , когда передаточная функция C(z)

эквалайзера определена (10.2.32). Поскольку J = EsJ = Eijl)-EiJи поскольку eIJ fc ]= о с учётом условия ортогональности (10.2.27), следует

-EizJl) = E\l,f - ±сЕ(р, Л) = 1 - ±c.f .. (10.2.34)

«J j=-ao

Эта частная форма для J не очень информативна. Больше понимания зависимости качества эквалайзера от канальных характеристик можно получить, если суммы в (10.2.34) преобразовать в частотную область. Это можно выполнить, заметив; что сумма в (10 2.34) является свёрткой j) и [fj], вычисленной при нулевом сдвиге. Так, если через {Ь}

обозначить свёртку этих последовательностей, то сумма в (10.2.34) просто равна Ь„. Поскольку z-преобразование последовательности {Ь} равно

F(z)F (z) + N X{z) + N,

TO слагаемое равно

Biz)

- L

iTzji z[X{z) + N,

Xiz)

(10.2.35)

(10.2.36)

Контурный интеграл в (10.2.36) можно преобразовать в эквивалентный линейный интеграл путём замены переменной z = е-". В результате этой замены получаем

271J

(е")

(10.2.37)

Наконец, подставив (10.2.37) в сумму (10.2.34), получаем желательное выражение для минимума СКО в виде

27cJ-"/A(e") + A„ 27tJ-r

-fifa) =

9-ir J-

j<4Ts

(10.2.38)

dco.

В отсутствие МСИ X(e ) = 1 и, следовательно,

Л:- =

\+N.

(10.2.39)

Видим, что 0<Ji„<l. Далее, соотношение между выходным (нормированного по энергии сигнала) ОСШ у» и выглядит так

(10.2.40)

(10.2.42)

Более существенно то, что соотношение между у„ и также имеет силу, когда имеегся остаточная МСИ в дополнении к шуму на выходе эквалайзера.

Эквалайзер ограниченной длины. Теперь вернём наше внимание к случаю, когда длительность импульсной характеристики трансверсального эквалайзера простирается на ограниченном временном интервале, т.е. эквалайзер имеет конечную память или ограниченную длину. Выход эквалайзера на к-м сигнальном интервале равен

Ltjkj- (10.2.41)

j=-K

СКО эквалайзера с 2К + 1 ячейками, обозначаемый J{K), равен

J(K) = EI,-l\f=EI,-fc.,,, . .

]=-К

Минимизация J{K) по взвешивающим коэффициентам ячеек {::} или, что

эквивалентно, требуя, чтобы ошибка г=1;-1 была бы ортогональна сигнальным отсчётам и* ,, I <К , приводит к следующей системе уравнений:

[о (при других/,7"),

7; (-1/<0), \ О (при других /).

Удобно выразить систему линейных уравнений в матричной форме, т.е.

ТС = %,

где С означает вектор столбец 2К +1 взвешивающих значений кодовых ячеек, Г означает (2a:+i)x(2a:+i) матрицу ковариации Эрмита с элементами п.; а (2лг + 1) мерный

вектор столбец с элементами Решение (10.2.46) можно записать в виде

С„„.=Г- (10.2.47)

Таким образом, решение для С,, включает в себя обращение матрицы Г.

Оптимальные взвешивающие коэффициенты ячеек, даваемые (10.2.47), минимизируют показатель качества ДАТ), что приводит к минимальной величине J{K)

J(K) = \- fc.f, =1-ГГ-С. (10.2.48)

где определяет транспонированный вектор столбец . (К) можно использовать в (10.2.40) для вычисления ОСШ линейного эквалайзера с 2К +1 коэффициентами ячеек.

10.2.3. Характеристики качества эквалайзера по минимуму СКО

В этом разделе мы рассмотрим характеристики качества линейного эквалайзера, который оптимизирован при использовании критерия минимума СКО. Как минимум СКО,

(10.2.43)

(10.2.44) (10.2.45)

(10.2.46)

так и вероятность ошибки рассматриваются как меры качества для некоторых специфических каналов. Мы начнем с вычисления минимума СКО J и выходного ОСШ для двух специфических каналов. Затем мы рассмотрим оценку для вероятности ошибки.

Пример 10.2.1. Сначала мы рассмотрим эквивалентную модель канала с дискретным временем, который состоит из двух компонент /д и yjo, которые нормированы так

/о + fl = 1- Имеем

F(z) = f,+fz

(10.2.49) (10.2.50)

X(z) = fj:z + \ + f;fz- Соответствующая частотная характеристика равна

Xit") fofi е><-+1+/;у;е-" =1 + 2/Лу;со5(шГ + е), (10.2.51)

где 9 - угол /о/*. Заметим, что эта канальная характеристика содержит нуль на частоте

со = 7:/7, когда /, =f=.

Линейный эквалайзер с неограниченным числом ячеек, построеннь и на основе критерия минимума СКО, будет иметь минимум- СКО, определенный (10.2.38) Вычисление интеграла (10.2.38) при Jf(e""), определяемом (10.2.51), приводит к результату

Рассмотрим частный случай, когда fo -f= yf Тогда минимум •тгт = +2No a соответствующее выходное ОСШ равно

(10.2.52)

1 + --1«

2 "

N,«].

(10.2.53)

Этот результат можно сравнить с выходным ОСШ 1/No, полученным для случая отсутствия МСИ. В этом канале возникает незначительная потеря в ОСШ.

Пример 10.2.2. В качестве второго примера рассмотрим показательную затухающую характеристику канала в виде f = 4\-а-а, Л = 0,1,... где л< 1. Преобразование Фурье этой последовательности

1 +а" -2acosco7 является функция с минимумом при а = к/Т . Выходное ОСШ для этого канала

/ .-:- N •

(10.2.54)

N,«1.

(l + a)N,

Следовательно, потеря в ОСШ из-за интерференции равна 101g((l-а)/(1+ а"))

(10.2.55)