С..,,)=С, AG.;... (11.1.17)

Действительно, операция усреднения согласно (11.1.16) уменьшает шум в оценке вектора градиентов, как показано Гарднером (1987).

.Лльтернативный подход сводится к фильтрации шумовых составляющих градиента с помощью низкочастотного фильтра и использованию выхода фильтра как оценки вектора градиента. Например, простой низкочастотный фильтр для шумовых градиентов даёт выход

Gk=wGk~,+{\-w)G,, G(0) = G(0), (11.1.18)

те выбор О < 1г < 1 определяет полосу пропускания низкочастотного фильтра. Если и близко к единице, полоса фильтра мала и эффект1шное усреднение осуществляется по многим векторам градиентов. С другой стороны, если w мало, низкочастотный фильтр имеет большую полосу и, следовательно, он обеспечивает малое усреднение по векторам градиентов. С фильтрацией векторов градиентов по (11.1.18) вместо G, мы получаем алгоритм НК с фильтрацией градиентов, определяемой так

С,,, =C,-AG,. (11.1.19)

В вышеприведенно.м обсуждении было предположено, что приёмник имеет знание о переданной информационной последовательности при формировании сигналов ошибки между желательным символом и его оценкой. Такое знание можно получить в течение короткого периода обучения, когда к приемнику для первоначальной настройке шаговых весов передается известная информационная последовательность.

На практике часто в качестве обучающей последовательности выбирается периодическая псевдослучайная последовательность, такая как последовательность pciHCipa сдвига максимальной длины с периодом N, равным длине (памяти) эквалайзера [N ~ 2К + \). В этом случае, градиент обычно усредняется по длине последовательности как указанно в (11.1.6), а эквалайзер настраивается на каждом периоде согласно (11.1.17). Практическая схема для непрерывной настройки весов отводов может быть или основана Hii управлении решениями, когда решения (оценки) по 1шформац»юнным символам предполагаются правильными и используются вместо Д при формировании сигнала

ошибки , или такая, в которой известная псевдослучайная испытательная

последовательность вставляется в информационный сигнал (путём суммирования или перемежения во времени), а веса отводов настраиваются путём сравнения принимаемых испытательных символов с известными переданными сигналами. При использовании операционной модели с управлением решениями сигнал ошибки оказывается равным

= , где - это решение приёмника, основанное на оценке Д . До тех пор, пока

приёмник работает с малыми вероят1Юстями ошибок, редкие ошибки будут иметь несущественное влияние на сходимость алгоритма.

Если характеристики канала меняются, эти изменения отражаются в коэффициентах (/,} эквивалентной модели канала с дискретным временем. Они также отражаются в

сигнале ошибки г,, поскольку он зависит от (/;}. Таким образом, шаговые веса будут

меняться согласно (11.1.11), отражая изменения в канале. Простое изменение в шаговых весах возникает, если меняется статистика шума или 1шформационноП последовательности Таким образом, эквалайзер оказывается адаптивным.

11.1.3. Свойство сходимости алгоритма НК

Свойство сходимости алгоритма НК, определяемого (11.1.11), управляется параметром размера шага А. Мы теперь рассмотрим выбор параметра А для гарантии сходимости алгоритма кратчайшего спуска (11.1.7), который использует точные значения градиента.

Из (11.1.7) и (11.1.8) имеем

С,,, = С, - AG, = (I АГ)С, + А, (11.1.20)

где I- единичная матрица. Г- автокорреляционная матрица принимаемого сигнала, С-[iK + ]) размерный вектор усиления ячеек эквалайзера, а вектор взаимных корреляции определяемый (10.2.45). Рекуррентное отношение (11.1.20) можно представить системой замкнутой петли управления, как показано на рис.11.1.3.

Филыр nz)

Рис. и 1.3. Предстаатснис рекуррентного уравнения (11.1.20) системой с замкнутой петлей управления

К сожалению, система из 2А + 1 разностных уровней первого порядка в (11.1 20) связана через матрицу автокорреляций Г. Чтобы решить эти уравнения и, таким образом, установить свойство сходимости рекуррентного алгоритма, математически удобно развязать уравнения путем линейного преобразования. Подходяшее преобразование получается, если учесть, что матрица Г является эрмитовой с комплексными элементами и. следовательно, её можно представить так:

Г-иЛи*, (11.1.21)

где U- унитарная матрица для Г, Л-диагональная матрица с элементами, равны\и1 собственным числам матрицы Г.

Если (11.1.21) подставить в (11.1.20) и если мы определим преобразованные (ортогонализированные) векторы С = U*C, и 5" = U"*, то получим

Cl,=(l-aa)Cl+av. (11.1.22)

Система дифференцированных уравнений первого порядка теперь развязана. Их сходимость определяется из однородного уравнения

С2„=(1-АЛ)С:. (11.1.23)

Мы видим, что рекуррентное отношение будет сходиться при условии, что все полюса лежат внутри единичной окружности, то есть

\\~А\\<1 к = -К,...-1,0,1...,К . (11.1.24)

где {а., - набор из 2АГ + 1 (возможно, и не различаюшихся) собственных значений Г. Поскольку Г автокорреляционная матрица она положительно определенная и, следовательно, а, >0 для всех к. Следовательно, сходимость рекуррентного отношения

(11.1.22) гарантируется, если А удовлетворяет неравенству

0<А< -, (11.125)

где - наибольшее собственное число Г.

Поскольку наибольшее собственное число положительно определенной матрицы меньше, чем сумма всех собственных чисел матрицы и, следовательно, поскольку сумма собственных чисел матрицы равна её следу, мы имеем следующую простую верхнюю границу для

< Z К = trr {2К + 1)Г,, = (2К + 1)(л-, + Л„). (11.1.26)

к=-К

Из (11.1.23) и (11.1.24) мы видим, что быстрая сходимость возникает тогда, когда 11 - АХ, I мало, то есть когда полюсы далеки от единичной окружности. Но мы можем и не

достичь это желательное условие и все же удовлетворить (11.1.25), если имеется большое различие между наибольшим и наименьшим собственными значениями матр1щы Г Другими словами, даже если мы выбираем А близким к верхней границе, даваемой (11.1.25), скорость сходимости рекуррентного алгоритма НК определяется наименьшим собственным числом Х,,. Следовательно, отношение А,.,/л,„ непосредственно

определяет скорость сходимости. Если Х./Х, мало, то А можно выбрать так, чтобы

достичь быстрой сходимости. Однако, если отношение А, „/А,,„ велико, что определяет

случай, когда частотная характеристика канала имеет глубокие спектральные нули, скорость сходимости алгоритма будет медленной.

11.1.4. Излишек СКО, обусловленный зашумлёнными оценками градиентов

Рекуррентный алгоритм (11.1.11) для настройки коэффициентов в линейном эквалайзере использует несмещённые шумовые оценки вектора градиентов Шум в этих оценках вызывает флуктуация коэффициентов около их оптимальных значений и. следовательно, ведет к увеличению СКО на выходе эквалайзера. Это означает, что финальное значение СКО равно -щ+Л- ™ Уд-дисперсия измеренного шума. Слагаемое Уд, обусловленное шумом оценки, было названо Уидроу (1966) излишком срсдпеквадратнчиой ошибки.

Суммарное СКО на выходе эквалайзера для некоторого набора коэффициентов С можно выразить так

J = + (С - с,, У * Г(С - С„„.) , (11.1.27)

где Сдр( представляет оптимальные коэффициенты, удовлетворяющие (11.1.6). Это

выражение для СКО можно упростить путем линейного ортогонального преобразования, использованного выше для установления сходимости. Результат этого преобразования к (11.1 27) даёт

•> = .„ + Zir-"op.f , (11.128)

где }-ансамбль преобразованных коэффициентов эквалайзера. Излишком СКО является величина второго слагаемого в (11.1 28), т.е.

Л - 4-с г- (11129)

к=-К

Уидроу (1970, 1975) показал, что излишек СКО можно выразить так.

./л = AJ,

. у ---. (11.1.30)