[/j I равны соответствующим значением (/,}, даже если информащюнная

последовательность коррелированна. С учетом указанных выше условий, минимум СКО просто равно дисперсии шума Nq.

В вышеприведенном обсуждении, оцененная информационная последовательность на выходе алгоритма Витерби или вероятностного посимвольного алгоритма была использована для выполнения настройки оценивателя канала. Для начала операции можно послать короткую обучающую последовательность для формирования начальной настройки коэффициентов ячеек, как это обычно делается в случае линейного трансверсального эквалайзера. При адаптивном варианте обработки сигналов приемник просто использует свои собственные решения для формирования сигнала ошибки.

11.4. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ МИНИМАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АДАПТИВНОГО ВЫРАВНИВАНИЯ

НК алгоритм, который был описан в разделе 11.1 и 11.2 для адаптивной настройки коэффициентов ячеек линейного эквалайзера или ЭОСР является по существу (стохастическим) алгоритмом кратчайшего спуска, в котором правильный вектор градиентов аппроксимируется оценкой, полученной непосредственно по данным.

Важнейшее преимущество алгоритма кратчайшего спуска определяется его вычислительной простотой. Однако плата за простоту - медленная сходимость особенно, если характеристики канала отражены в матрице автокорреляций Г, чьи собственные значения имеют большой разброс, т.е. »1. Если посмотреть с другой точки

зрения то градиентный алгоритм имеет единственный настраиваемьи"! параметр для управления скорости сходимости, а именно параметр А. Следовательно, медленная сходимость обусловлена фундаментальным ограничением.

Для получения быстрой сходимости необходимо разработать более сложные алгоритмы, включающие дополнительные параметры. В частности, если матрица Г размером NxN имеет собственные значения А.,,Л,2,...,Л.д,, мы можем использовать

алгоритм, который содержит Л параметров - один для каждого собственного значения. Оптимальный выбор этих параметров для достижения быстрой сходимости является темой этого раздела.

При разработке алгоритмов быстрой сходимости мы будем использовать подход минимальных квадратов. Таким образом, мы будем работать непосредственно с принимаемыми данными для минимизации квадратичного показателя качества, в то время как раньше мы минимизировали ожидаемую величину среднеквадратичной ошибки. Проще говоря, это значит, что показатель качества выражается через временное среднее вместо статистического среднего.

Удобно выразить рекуррентные алгоритмы наименьших квадратов в матричном виде. С этой целью определим некоторое число векторов и матриц, которые необходимы в этом исследовании. Так поступая, мы не значительно изменим привычные обозначения. Конкретнее, оценку информационных символов в момент /, где / целое, в линейном эквалайзере теперь выразим так:

Изменяя индекс j для сД/-1) от / = 0 до j = N~l и определив на время

оценку / (/) можно выразить так

I it) = Yc.it - \)уЦ - j) = Cl{t- \)\it), (11.4.1)

где Сд,(/-1) и (О-соответственно векторы-столбцы коэффициентов эквалайзера ,{J~\ J-Q,h---,N-\ и входных сигналов Я-7), j = 0,\,2,...,N-\.

Аналогично, в эквалайзере с обратной связью по решению мы имеем коэффициенты ячеек с jit), j = 0,\,...,М-\, где первые .,+1 является коэффициентами фильтра с

прямой связью, а оставшиеся К N - K-\ являются коэффициентами фильтра обратной связи. Данные в оценке / (/) являются и,. ...и,,, Д , ...7 ., где 7, , \<j<K.

означают оценки по ранее продетектированным символам. В этом исследовании мы пренебрегаем влиянием ошибочных решений в алгоритме. Итак, мы считаем, что

7; ,=/, , 1<7<а:з.

Для удобства обозначений мы также определим

y(t-j)-

iO<j<K,)

(11.4.2)

[Л.л-,-. iK,<j<N-\) Следовательно,

Ул,(о=Ь(о >(/-1)...я/-л+1)Г=к.-.-/, ..../,,.j(11.4 3)

11.4.1. Рекуррентный алгоритм (Калмана) наименьших квадратов

Рекуррентное по наименьшим квадратам (РНК) оценивание / (/) можно

сформулировать следующим образом. Допустим, мы наблюдаем векторы y(/7), = 0,1,...,/ и желаем определить вектор коэффициентов Cit) эквалайзера

(линейного или с обратной связью по решению), который минимизирует усреднённые во времени взвешенные квадраты ошибок

с=5:н.-".,(/,,/)\

(11.4.4)

где ошибки определяются так

ein,t) = I{i,)-Clit)\in), (11.4 5)

а W представляет взвешивающий множитель О < iv < 1. Таким образом, мы ввели показательное взвешивание по последним данным, которое приемлемо, когда характеристики канала меняются во времени. Минимизация коэффициентов Сд,(/) ведет к системе линейных уравнений

R(/)C/) = DO, где Rv(0- матрица корреляций сигнала, определенная так

по вектору (11.4.6)

Ra.(o=2:»""y:(")y").

а D,(/)- вектор взаимных корреляций Решение (11.4.6) равно

(11.4.7)

C(/) = R-40D(0- (11-4.9)

Матрица Rjv(0 родственна матрице статистических автокорреляций Г,, в то время как вектор Djy() родственен вектору взаимных корреляций, определенных раньше. Подчеркнем, однако, что RCO не является тёплицевой матрицей. Мы также хотим напомнить, что для малых значений /, Rjv(0 может быть плохо обусловленной; следовательно, это обычно приводит к первоначальной добавке матрицы б1д, к RjCO, где 5 малая положительная константа, а 1, - единичная матрица. При показательном взвешивании по последним данным влияние прибавления 51д, ослабевает со временем.

Теперь предположим, что мы имеем решение (11.4.9) для момента /-1, то есть Сд,(/-1), и мы желаем вычислить Cfj(i). Неэффективно и, следовательно, непрактично решать систему Л линейных уравнений для каждой новой сигнальной компоненты, которая принимается. Чтобы преодолеть эту трудность, мы поступим так. Сначала R,(0 мохсно вычислить рекуррентно следующим образом

R(О = >.R (/ -1) + y;(/)Y(/) . (11.4.10)

Мы назовем формулу (11.4.10) обновляющее уравнение для R (/) .

Поскольку в (11.4.9) требуется обращение Rдr(/), используем соотношение для обращенных матриц

R-.„-n «»(-i)y;(0vJ(OR;(-i)"

,.+yJ(or;(-i)y;(o

Таким образом, R40 можно вычислить рекуррентно согласно (11.4.11). Для удобства определим Pf(i) = R~f(t). Также удобно определить -мерный вектор,

КЛ0 = -

называемый вектор калмановского усиления, так

где Рд,(/) является скаляром, определяемым так

с этими определениями (11.4.11) приводится к виду

(О = - к - о - (/)y; iOP (/-]).

Предположим, что мы умножаем обе части (11.4.14) на Уу(0- Тогда

p(/)y;(o = -K(/-i)y;(/)-k(/)y(Op,(/-i)y;(/)]= - -{к+ШЛО - - (/) .

(11.4.12)

(11.4.13) (11.4.14)

(11.4.15)

Следовательно, вектор калмановского усиления можно также определить как

РЛОУ(/).

Теперь используем соотношение для обратных матриц для получения уравнения, определяющего С(/) по C,(/-l). Поскольку

Сд(0 = Р(Оо(0

(11.4.16)