решетке пространства канала, причем он становится лучше и лучше при использовании МП правила для сохранения оцененного канала в окрестности действительного неизвестного канала. Этот алгоритм приводит к эффективной параллельной реализации, а его требования к памяти такие же, как в АВ.

11.5.2. Стохастический градиентный алгоритм

Другим классом алгоритмов слепого выравнивания являются схемы стохастически-градиентного итеративного выравнивания, которые содержат на выходе линейного КИХ-Быравнивающего фильтра безынерционную нелинейность, для того чтобы генерировать «желательную характеристику» на каждой итерации.

Начнем с первоначального предположения, что коэффициенты оптимального эквалайзера равны {б-„}. Затем свёртку импульсной характеристики канала и импульсных

откликов эквалайзера можно выразить так

fc}®(/J={5j+k}. (11-5.16)

где {5„}- единичная отсчётная последовательность, а {е} означает последовательность

ошибок, возникающая из нашего первоначального предположения коэффициентов эквалайзера.

Если мы возьмем свертку импульсного отклика эквалайзера и принимаемой последовательности {и„} мы получим

= {/Л+{/Л®к)+Я}®к}. (11.5.17)

Слагаемое {/„} в (11.5.17) представляет желательную последовательность данных, слагаемое {/„}®К} представляет остаточную МСИ, а слагаемое {п„}®к} представляет аддитивный шум. Наша задача сводится к использованию «развернутой» последовательности чтобы найти наилучшую оценку «желательного» отклика,

которую обозначим в общем {d„}. В случае адаптивного выравнивания, использующего обучающую последовательность {У„}={/„} При варианте слепогр выравнивании мы хотим генерировать «желательный» отклик из }.

Для определения наилучшей оценки {/„} по наблюдаемой на выходе эквалайзера последовательности можно использовать критерий минимума среднего квадрата

ошибки (СКО). Поскольку передаваемые последовательности {/„} имеет негауссовскую ФПВ, оценка по минимуму СКО определяется нелинейным преобразованием {/„}. В общем «наилучшая» оценка {d} определяется так:

d„gOn) (без памяти)

d„=g(KJn u-Jn-n.) (память т-го порядка), где g(-)- нелинейная функция. Последовательность {d} затем используется для

генерирования сигнала ошибки, который подается обратно на фильтр адаптивного выравнивания, как показано на рис. 11.5.1.

Как хорошо известно, классическая задача оценивания формулируется так. Если выход

эквалайзера /„ выразить так

(11-5-19)

(11.5.18)

где г„ предполагается гауссовским с нулевым средним (здесь использована центральная предельная теорема теории вероятностей для остаточной МСИ и аддитивного шума), {/„ ] и {tj,J статистически независимы, а {/}-статистически независимые и одинаково распределенные случайные величины, тогда оценка по минимуму СКО равна

d„=EiI„\lJ, (11.5.20)

Вход

Адаптивный эквалайзер

Н1.1ХОД

игиалС

Сигнал ошибки

Нелшкйиая функция

В( /~,)

Рис.11.5.1. Адаптивное слепое выравнивание со

стохастическим градиентным алгоритмом

которая является нелинейной функцией выхода эквалайзера, если {/„} негауссовские случайные величины.

Таблица 11.5.1. Стохастические градиентные алгоритмы для слепого выравнивания

Коэффициенты ячеек эквалайзера Последовательность принятого сигнала Последовательность на вы.\оде эквалайзера Последовательность ошибок эквалайзера Уравнение обновления оценок

{c.,0<»<Af-l) к)

rtt-l л п п

.4лгор11Т1М

Нелинейность: g{l )

Годарда

Сато

Бенвенисто-Горсата Старт-стоп

I. +f,(K -/J + -jIA, -/„к csgn(/„)-/„], -t, и к, L +\A{i„-J,) + \B{l. ~TJ (A, tf) = (2,()), (1.1). (1, -1) или (0,0), в зависи.мости от знака ошибки

L - Т„ и ошибки с csgn(/„ )- /„

Табл. 11.5.1 иллюстрирует общую форму существующих алгоритмов слепого выравнивания, базирующиеся на НК адаптации. Мы видим, что базовое отличие этих алгоритмов заключается в выборе инерционной нелинейности. Наиболее широко используемым на практике алгоритмом является алгоритм Годарда, иногда называемый алгоритмом с постоянным модулем (АПМ).

Из табл.11.5.1 очевидно, что выходная последовательность {(J„), получаемая при

использовании нелинейной функции от выхода эквалайзера, играет роль желательного отклика или обучающей последовательности. Также очевидно, что рассматриваемые алгоритмы просты для реализации, поскольку они являются базовыми алгоритмами типа НК. Раз так, мы ожидаем, что характеристики сходимости этих алгоритмов будут зависеть от матрицы автокорреляции принимаемых данных (о„ !.

С учетом сходимости адаптивные алгоритмы вида ЬЖ сходятся в среднем, когда

и в средне квадратичном смысле, когда (верхний индекс Н означает сопряжённое транспонирование)

4Lg\L)]=Eli„\-\

Следовательно, требуется, чтобы выход эквалайзера (/„) удовлетворял условию (11.5.22). Заметим, что (11.5.22) устанавливает, что автокорреляция {/, } (правая часть)

равна взаимной корреляции между /„ и нелинейного преобразования /„ (левая часть).

Процесс, удовлетворяющий этому свойству, назван Беллини (1986) процессом Базганга (1952). В целом алгоритмы, данные в табл.11.5.1, сходятся, когда выходная

последовательность эквалайзера /„ удовлетворяет свойству Базганга.

Базовое ограничение стохастических градиентных алгоритмов относительно медленная сходимость. Некоторые улучшения в скоростях сходимости можно достичь модификацией адаптивных алгоритмов типа ЬЖ в рекуррентный тип наименьших квадратов (РЬЖ).

Алгоритм Годарда. Как указанно выше, алгоритм слепого выравнивания Годарда является алгоритмом скорейшего спуска, который широко используется на практике, когда обучающая последовательность нежелательна. Опишем этот алгоритм более подробно.

Годард рассматривает задачу об объединении выравнивания и восстановления фазы несущей и её отслеживания. Отслеживание фазы несущей выполняется на базовом сигнале после эквалайзера, как показано на рис. 11.5.2.

Основываясь на этой структуре, мы можем выразить выход эквалайзера так

4 = 2:с„ш„. (11.5.23)

а вход на устройство решения так ехр(-7ф,), где с,-оценка фазы несущей на -м

символьном интервале.

Если желательный символ известен мы можем формировать сигнал ошибки

,-/,-/,е-** (11.5.24)

и минимизировать СКО по и {с„]

min£(l/,-/,e-** I). (115.25)

37-56 577