4."] = Г>>(«К (2-2.39) и автокорреляционная последовательность

{n,k) = iE(xX) = rjyyAn,x,)dx„dx,. (2.2.40) Подобным образом определяется и автоковариационная последовательность

к) = ф(/;, к) - е{х„ )е{х:). (2.2.41) Для стационарного процесса имеем ф(н, н ф(и - к), д(«, к) - [х{п - к) и

фг-к) = ф,-к)-\т\\ (2.2.42)

где /я = (я) ~ среднее значение.

Как и в случае случайного процесса с непрерывным временем стационарный процесс с дискретным временем имеет неограниченную энергию, но ограниченную среднюю мощность, которая определяется как

EiX„f)-m. (2.2.43)

Спектральная плотность мощности для случайного стационарного процесса с дискретным временем получается преобразованием Фурье от ф(/7). Поскольку ф( )-последовательность дискретного времени, преобразование Фурье определено в виде

ф(/)= ЕФ(«)е-".

(2.2.44)

(2.2.45)

а обратное преобразование - в виде

ф(/0 = [ф(/)е/.

Обратим внимание на то, что спектральная плотность мощности Ф(/) является периодической с периодом/р \. Другими словами, ф(/ +к) = ф{/) для А: = 1:1, ±2.....

Это характерно для преобразования Фурье дискретной во времени последовательности, такой как ф(/г).

В заключение рассмотрим отклик линейной стационарной системы с дискретным временем на стационарные случайные входные воздействия. Система характеризуется во временной области своей импульсной характеристикой h(n) (откликом на единичный отсчет времени), а в частотной области - частотной характеристикой Н(/), где

(/)=ЕМ")е--". (2.2.46)

п=-<о

Отклик системы на стационарный случайный входной сигнал Х{п) определяется дискретной сверткой

у{п) Y,h{k)x{n-k). (2 2.47)

Среднее значение выхода системы

/;; = ф(/7)]= Yhik)E[x{n-k)\

yh[k)=mH(0}.

(2.2.48)

где Я(0) - передаточная функция системы на нулевой частоте.

Автокорреляционная последовательность для выходного процесса

= i Z J:h\i)h(j)E[xir7-i)X{n + k-j)

=-a0 /=-00

(2.2.49)

j--co /=-00

Это общая форма для автокорреляционной последовательности выхода системы, выраженная через автокорреляционную функцию входа системы и импульсную характеристику системы Производя преобразования Фурье над фуу(к) и учитывая (2.2.49), получаем соответствующее соотношение в частотной области

Ф(/) = Ф.(/)М/)\ (2.2.50)

которое идентично (2.2.27), за исключением того, что в (2.2.50) спектральные плотности мощности Ф,у(/) и Ф.„(/) и частотная характеристика H(f) являются периодическими функциями частоты с периодом1.

2.2.6. Процессы с циклической стационарностью

При обработке сигналов, которые несут цифровую информацию, мы встречаемся со случайными процессами, которые имеют периодически повторяющиеся средние значения. Для конкретности рассмотрим случайный процесс вида

x{fh ЪЛ-т).

(2.2.51)

где - последовательность (с дискретным временем) случайных величин со средним

ш,, = Е{а„) для всех;/ и автокорреляционной последовательностью ф ,(А) = у -

Сигнал g(j) детерминирован. Случайный процесс Х(1) представляет сигнал для некоторых различных видов линейной модуляции, которые рассматриваются в гл. 4. Последовательность {а„} представляет цифровую информацию источника (символы), которая передается по каналу связи, а 1/Г определяет скорость передачи информационных символов.

Определим среднее и автокорреляционную функцию X{t). Сначала находим среднее значение

E[x{t)]= YE{a,)g{t,iT)m, fg{t-nT). (2.2.52)

li=-a, п=-ос

Видим, что среднее меняется во времени, но меняется периодически с периодом /. Автокорреляционная функция

<\fJ--VhiE[x(f-rT)X{,) =

= f:E(a:ay{t-nT)g{t + T-mT) = = Z<Jm-n)g{t-nT)8{t + T-mT).

(2.2.53)

п=-оа п=-од

Снова видим, что

(2 2.54)

ф„.(/ + т + Л7-./+Г) = ф„.(/ + т,/),

для к - ±1, ±2, . .. Следовательно, автокорреляционная функция X(t) также является периодической с периодом Т.

Такой случайный процесс назван цикяостациопарнът или периодически стационарным. Поскольку автокорреляционная функция процесса зависит от обеих

переменных / и т, его частотное представление требует двухмерного преобразования Фурье.

Поскольку крайне желательно характеризовать такие сигналы их спектральной плотностью мощности, альтернативный подход заключается в вычислении средней во времени за один период автокорреляционной функции, определяемой как

L() = 7C>.vO + (2-2.55)

Используя усредненную функцию автокорреляции, мы исключаем зависимость от времени. Теперь преобразование Фурье от ФДх) дает усредненную спектральную

плотность мощности для циклически стационарного случайного процесса. Такой подход позволяет нам упростить характеристику циклически стационарного процесса в частотной области. Таким образом, спектральная плотность мощности определяется как

Ф..-(/) = £ф-(Ф"-- (2-2-56)

2.3. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

В этой главе мы дали обзор базовых понятий и определений из теории вероятности и теории случайных процессов. Как отмечено в начале главы, эта теория является важным .математическим инструментом при статистическом моделировании источников информации, каналов связи и при расчете цифровых систем связи. В частности, важной при оценке характеристик систем связи является граница Чернова. Эта граница часто используется для оценки вероятности ошибки цифровых систем связи при использовании кодирования при передаче информации. Наш обзор также осветил ряд распределений вероятностей и их свойств, которые часто используются при расчете систем цифровой связи.

Давенпорт и Рут (1958), Давенпорт (1970), Папулис (1984), Пеблес (1987), Хелстром (1991) и Леон-Гарсия (1994) дали в своих книгах инженерно-ориентироранное рассмотрение теории вероятности и теории случайных процессов. Более глубокое математическое рассмотрение теории вероятности можно найти в книгах Лоэва (1955). Наконец, упомянем книгу Миллера (1962), который рассмотрел многомерные гауссовские распределения.

ЗАДАЧИ

2.1. Один эксперимент имеет четыре взаимосв«занны.\ результата А„ i=l, 2, 3, 4, а второй эксперимент имеет три взаимосвязанных результата Bj,j=\, 2, 3. Совместные вероятности р{а,,В

Р(„Д)=0,10 P(4.S2) = 0,08 ф„Лз) = 0.13

р(.4з,Д) = 0,05 фз,?>) = 0,12 фз.Лз) = 0,14 РЦ,В,)-0,11 Р(Л,А) = 0,04 Р(.4„Дз)0,06.

Определите вероятность Р(Д), / = 1, 2, 3, 4 , и Р{в, j -\,2,Ъ .

1.1. Случайные величины Х„ i 1,2,...,п , имеют СФПВ p[xi,X2,...x„). Докажите, что

Первые люнофафии по теории вероятностей и теории слзчайных процессов, ориентированные на решение задач радиотехники, связи и управления, появились в России в 1957 г. и принадлежат Б Р. Левин> 14(), B.C. Пугачёву [41]. В 1966 г. появилась очередная книга Б.Р. Левина по этой тематике [27J, а таклсе пользующаяся большой популярностью книга В.И. Тихонова. [42, см. также 43]