базируются на правиле максимального правдоподобия для совместного оценивания импульсной характеристики канала и последовательности данных, являются оптимальными и требуют относительно немного принимаемых отсчётов сигнала для выполнения оценивания канала. Однако вычислительная сложность этих алгоритмов велика, когда МСИ простирается на много символов. В некоторых каналах, таких как каналы мобильной радиосвязи, когда протяжённость МСИ относительно короткая, эти алгоритмы легко выполнять, однако в телефонных каналах, где МСИ простирается на .многие символы, но она не является очень тяжёлой, обычно используются алгоритмы типа НК (стохастического градиента).

11.6. библиографические замечания и ссылки

Адаптивное выравнивание для цифровой связи было разработано Лакки (1965, 1966). Его алгоритм, базирующийся на критерии минимума пикового искажения, вёл к АСН. Работа Лакки была главным прорывом, который привёл к быстрому развитию высокоскоростных модемов в пределах пяти лет после публикации его работ. Конкурентный алгоритм НК был разработан Уидроу (1966) и его использование для адаптивного выравнивания комплексных сигналов (синфазных и квадратурных компонент) было описано и проанализировано в учебных статьях Прокиса и Миллера (1969).

Учебная трактовка алгоритмов адаптивного выравнивания, разработанных за период 1965-1975 дана Прокисом (1975). Более новая учебная трактовка адаптивного выравнивания дана в статье Куреши (1985) Важный прорыв в технике адаптивного выравнивания, начатый работой Лакки в 1965, связан с разработкой решетчато-кодовой модуляции, которая была предложена Унгербоеком и Чайка (1976), что привело к разработке коммерчески приемлемых высокоскоростных модемов со скоростями передачи 9600-28800 бит/с по телефонным каналам.

Использование алгоритмов более быстрой сходимости для адаптивного выравнивания было предложены Годардом (1974). Наше изложение НК (Калмана) алгоритма, описанного в разделе 11.4.1, следует подходу Пикинбоно (1978). РНК-лестничные алгоритмы для общего оценивания сигналов были разработаны Морфом и др. (1977, 1979). Приложения этих алгоритмов были переработаны несколькими исследователями, включая Макхоула (1978), Саториуса и Пака (1981), Саториуса и Александера (1979) и Лингом и Прокисом (1982, 1984 а-е, 1985). Быстрь й НК алгоритм Калмана для адаптивного выравнивания был впервые описан Фальконером и Льюнгом (1978). Выше сделанные ссылки являются как раз теми немногими важными статьями, опубликоваными по НК алгоритмам для адаптивного выравнивания и других применений.

Оригинальная работа Сато (1975) по слепому выравниванию была сконцентрированы на AM (одномерных) сигнальных созвездий. Впоследствии она была обобщенна на двух мерные и многомерные сигнальные созвездия в алгоритмах, открытых (?) Годардом (1980), Бенвинистом и Гоурсатом (1984), Сато, (1986) Фошини (1985), Пичи и Праги (1987) и Шалви и Вайнштейном (1990). Методы слепого выравнивания, основанные на использовании моментов второго и более высоких порядков принимаемого сигнала были предложены Хатзинакосом и Никиасом (1991) и Тонгом и другими (1994). Использование правила максимального правдоподобия для совместного оценивания канала и дегектирование данных были исследованы и обсуждены в статьях Сешадри (1991), Гоша и Вебера (1991), Зерваса и других (1991) и Рахели и других (1995). Наконец, характеристики сходимости алгоритмов стохастического градиентного слепого выравнивания были исследованы Дингом (1990), Дингом и другими (1989) и Джонсоном (1991).

задачи

11.1. Эквивалентный канал с дискретным временем с белым гаусовским шумом покачан на рис. Р11 1.

-►

1 111

Рис. Р. 11 i

a) Предположим, что мы испольчусм линейный эквалайзер для выравнивания канала. Определите коэффициенты ячеек с,.,., Л1я

тре.хячеечного эквалайзера. Для упрощения расчетов считается, что АБГШ имеет нулевое среднее.

b) Коэффициенты ячеек линейного эквалайзера в (а) определяются рекуррентно по алгоритм>

Ct.i +Agt. Q. =[t cn.6,. где = rCj. - b - вектор градиента, a Д размер шага ячейки. Определить

диапазон возможных величии А, чтобы гарантировать с.чодп.мость рекуррентного алгоритма. Для упрощения вычислений считайте, что АБТШ имеет нулевое среднее.

c) Определите веса ячеек ЭОСР с двумя ячейками в цепи прямой свч hi и одной в цепи обратной связи. Дтя упрощения вычислений считайте, что АБТШ имеет нулевое среднее.

11.2. Ссылаясь на задачу 10.18, ответьте на следующие вопросы.

a) Определите макси.мальное значение А. которую можно использовать, чтобы обеспечить cxoдиюcть коэффициентов эквалайзера в процессе работы в адаптивном режиме.

b) Какова зависимость от Д дисперсии собственного шума, создаваелюго трс.\ ячеечны.м эквалайзсро.м когда он работает в адгштивном режиме. Предположи.м, что желательно Офаничить дисперсию собственного шума до 10 % от мини.мального СКО в трех ячеечном эквалайзере, когда .V,, -0,1. Каклю величину Л вы выберете.

c) Если оптимальные коэффициенты эквалайзера вычисляются реклррентно .методом крутого сп\ска. рекуррентное уравнение можно записать в виде

С(„„,=(1-АПС(„,Д5,

где I - единичная матрица. Уравнение определяет систему из трёх связанных разностных уравнений первого порядка. Они могут быть развязаны линейным преобразованием, которое диагонализирует матрицу Г Это значит r = UAU, где Л диагональная матрица, имеющая собственные значения матрицы Г, как спои диагональные элементы, а И является унитарной .матрицей, котор>ю можно полччить из вашего ответа h;i задачу 10.18(b). Пусть =UC опредсояст устойчивое решение для С. Через нее оцените (?)С = (U)"С" = иС и, таким образом покажите, что ваш ответ соответствует результату, полученно.мх 10.18(a).

11.3. Если используется периодическая псевдосллчайная последовательность япины Л для настюйк11 коэффициентов ячеечного линейного эквалайзера, вычисления .можно выполнять э()фсктнвно в частотной области п>тсм использования дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Прсдполож-им. что (г,,} по последовательность из принятых отсчетов (в{ятых со скоростью персд11чн символов) на входе эквалаи чера. Тогда вычисление коэффициентов эквалайзера выполните так

а) Вьиислите ДПФ для одного периода в.ходной последовательности (v„} эквалайзера

b) Вычислите желательный спектр эквалайзера

. AliiL А-= 0.1.....Л-1.

где {Л\.}- предварительно вычисленное ДПФ обучающейся последовательности.

c) Вычислите обратные ДПФ от {С\} для получения коэф{)ициснтов эквалайзера {с„}. Покажете, что эта процедура в отсутствие шума дает эквалайзер, чья частотная характеристика в отсчётных точка\ Д = к/NT, А- = 0,1...../V -1 обратна отсчётам сложенной частотной характеристики канала

11.4. Покажите, что вектор градиентов при минимизации СКО можно выразить так

G,=-£(8,v;),

л л

где ошибка = 4 - 4 , а оценка G, то есть = -е. удовлетворяет условию

11.5. Алгоритм НК с пошагово!! утечкой, предложенный в статье Гитлина и других (1982), можно выразить так

С,, (« +1) = н-С; (и) + Др.(«) v; (п),

где О <w<l, Д размер шага, а Ули) - вектор данных в момент п. Определите условие для сходимости среднего значения Q(j)

11.6. Рассл;отрите случайный процесс

х{п) = gu(n) + \v{n), и = 0,1,.... Л/ -1,

где V - известная последовательность, g- сл>чайная величина с E(g)=0 и E(,g) = G. Процесс ч(п) -последовательность белого шума с функцией корреляции

Определите коэффициенты линейного оценивателя дтя g:

л=.0

которые MHHHMH3Hp>TOT СКО

11.7. Цифровой трансверсальный фильтр можно реализовать через частотные отсчёты посредством системной функции (см. задачу 10.25)

1 -М и

fc=0

где Я] (г) гребенчатый фильтр, ЯтС) - параллельный блок резонаторов, а {я} - значение дискретного

преобразовашгя Фурье (ДПФ).

a) Предположим, что эта структура реализована как адаптивный фильтр использующий алгоритм НК дтя настройки параметров фильтров (ДПФ) {Я*}. Дайте обнов.ляющсе уравнение для этих параметров. Нарисуйте структуру адаптивного фильтра.

b) Предположим, гтo эта структура использована как адаптивный канальный эквалайзер, в которо.м желательный сигнал

lc=0

При такой форме желательного сигнала, какое преимущество имеет адаптивный алгоритм НК для коэффициентов ДПФ {Я*} относительно прямой структурной формы с коэффициентами { (и)} (см. Прокис, 1970).

11.8. Рассмотрите показатель качества J = h + 4Qh + 28 . Предположим, что мы ищем минимум J используя алгоритм крутого спуска

А(п + 1) = Л(«)-Дг(«),

где g(n) - фадиент.

;i) Определите диапазон значений Д, которые обеспечивают сходимость системы в процессе настройки. Ь) Нарисуйте J, как функцию п для значений Д в этой области.

Рис Р11.9

"" 11.9. Определ1гге коэффициенты а и «2

для линейного предсказателя, показушного на рис. Р11.9, при заданной автокорреляционной функции (ni) входного сигнала

у„(/и)-А", Q<b<\

11.10. Определите лестничный фильтр и его оптимальные коэффициенты,

соответствующие линейному предсквателю з.тдачи11.9.