... -X„ ) = p{x„ \x„ , JC„ 2 ,y, , x„ 2 „-3 - • 1 )• Pi 1 )/(2)

2.3 Дана - ФПВ случайной величины Л. Случайш1я величин.1 У определяется как У - а\ +Ь, где

я<0.

Определите ФПВ Y крез ФПВ JVT

2.4. Предположим, что Л является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и единичной дисперсией.

Пусть Y аХ +Ь а>0. Определите и постройте график ФПВ для Y.

2.5. а) Пусть .V,. и X, - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинуковыми дисперсиями. Покалште, что преобразование (поворот) вида 1, + jY- -(А + /V )е- порождает другую пару (У.,У ) пуссовских случлГгных величин, которые ил еют ту же СФПВ что и пара (Л Д,)

Ь) Заметим, что в п. а)

, где А - матрица размерности 2x2. В порядке обобщения двухмерного преобразования

гауссовских случайных величин из а) определите какие свойства должны быть у матрицы (преобразования) А дтя того, ггобы ФПВ X и Y где Y-AX, Х-{Х Х-.Х „) и Y (У, У,...У„), бьии бы одинаковыми

2.6. Случайная величин! У определяется как

у = v \ , где Л , .1, 2 ... п статистически независимые слу!айные величины, причем 1=1

1 с вероятностью р, О с вероятностью \~р. л) Определите х!р;1ктерист№!ескую 4.УНкцию У

Ь) При помощи хар!1Сгеристической ф>нкции определите момент £(У) и Е(У"),

2.7. Четыре стучайные вeли!ины Yi X, Y3 Л4 являются совместно гауссовскими с нулевыл!и средними, с ков:!ри!цией ц, =£(.Y,Ay) и характерисги!еской функцией чЧу*! у2Jзу4) Покажите, что

Е{ХуХ.ХХ) =ц,JЦз4+(*,зH24+l4И23

2.8. При помощи характеристической фун1щии для центрального и нецентрального хи-!<в.!др.1т-распределения случайных величин определяемых соответственно по формулам (2.1.109) и (2.1.117), определите соответствующие первые и вторые моменты (формулы (2.1.112) и (2.1 125))

2.9. Случайная вeли!ин•a Араспределена по Коши с ФПВ

р[Х) = --г-,-оо<х<ос.

л) Определите среднее и дисперсию А. Ь) Определите характерист№!ескую функцию А. 2.1(1. Случайн.1Я величина У определен.! КсИ 1 "

У = -i;.Y, , где Y, /=1, 2, ... л - статистичес1си независимые и одинаково распределенные сл>ча!1ные

П,=1

величины, каждая из которых имеет распределение Коши из зад,1чи 2.9.

a) Определите характеристическую функцию У.

b) Определите ФПВ для У

c) Рассмотрите ФПВ У в пределе при лоо. Работает ли ценфальная предельная теорема. Обоснуйте ваш ответ.

2.11. Предположим, что cлyийныe процессы .V(/) и У(/) являются совместно и по отдельности стационарными.

a) Определите функцию автокорреляции 2(0=А(0+У(/).

b) Определите автокорреляционную фушщию 2(0 для спукм, когда А(/) и У(0 не коррелированы.

c) Определите автокорреляционную функцию дая случая, когд;! А(/) и У(0 являются некоррелированными и ил1еют нулевые средние.

2.12. Функция автокорреляции случайного процесса А(0 определяется так: ф.(ч:) - 7о5(т).

Такой процесс называется белым шумом. Пусть А (О является входом для идеального полосового ()ильтра с частотной х<р<1ктеристикои, показанной на рис. 2.12. Определите суммарную мощность ш\ма на выходе (1[льтр;,

2.13. Дана ковариационная матрица

Рис. Р2.12

случайны.\ величинAl, и.\з.

1122

LM31 О 133 J Осуществлено линейное преобразование Y=AX, где

Г1 О О

А= О 2 О Определите ковариационную матрицу для Y.

2.14. Пусть .V(r) яв.тяется вещественным стационарным гауссовс1сим процессом с н> левым средним. Пусть

новый процесс определен как Y(t) = X{t). Определите автокорреляционную функцию Y{f) через

автокорреляционную функцию X{t). Подсказка: используйте результат для гауссовских случайных величин из задачи 2.7.

2.15. Дг1я ФПВ Накагами (формула 2.1.147) определите нормированную случайную величин)" X = R/Nn. Найдите ФПВ для Л.

2.16. В.ходным воздействием цепи, показанной на рис. 2.16, является случайный процесс Л(/) с £[.\(/)] = 0. и

ф„(т) = ст5(т), т.е. X{t) яв.1яется белым шулюм.

a) Определите спектрал1?ную плотность лющности выхода

b) Определите ф (х) и УО]-

Л(/)

РИС.Р2.16

2.17. Док;1жите справедливость (2.2.38).

2.18. Докгоките, используя границу Чернова, что 0(.\:)< е, где 0{х) опреде.адется (2.1.97).

2.19. Определите среднее, автокорреляционную последовательность и спектральную плотность мощности дая сигшыа на вы.ходе системы (цифрового фильтра) с импульсной характеристикой

1 {«=0)

-2 („ = 1)

1 (« = 2)

О (для других л),

если в.чодной cлyulйный процесс Х{п) является белым шумом с дисперсией g .

2.20. Автокорреляционная последовательность дискретного во времени случайного процесса равна

Определите его спектра.>1ьную атотность мощности.

2.21. Случхшнын процесс с дискретным временем Х(п)шХ(пТ) получен псриодически.м стробированием стационарного процесса X{t) с непрерывным временем и нулевым средним, где 7" - период стробирования, т.е. = 1/7" является скоростью выборки отсчетов.

a) Определите соотношения между функцией автокорреляции сигнала Л(0 и автокоррсляционноГ! последовательностью его отсчётов Х(п).

b) Выразите спсктральт1ую п.10тность мощности процесса Х(п) через спектральную плотность мощности

процесса Л(0

с) Определите условия, при которых спектральная шютность мощности Х{п) равна спектральной плотности мощности .V(/)

2.22. Рассмотрим частотно-офаниченный стационарный случайный процесс .V(0 с нлмевым средним и спеюральной плотностью мощности (квазибелый случайный процесс)

ФС/)

[О, \А>-

Для образования процесса с дискретным временем Х(п)=Х{пТ) берутся отсчёты X(t) со скоростью

a) Определите выражение для автокорре-няционной последовательности А(я).

b) Определите миним;1льное значение Т. необходимое для получения «белой» последовательности (спектрально ровной), с

c) Повторите Ь) доя случая, когд;! спектр;!льная плотность дляЛ(0 определена !<ак

о, \f\>w.

Ф(/)=

2.23. Покажите, что функции

sin 2nW

7-r-r-, к = 0,±\,±2....

Л(0 =

являются ортогональными на интервале [-да, да], т. е

Следовательно, формулу из теоремы отсчётов можно рассматривать как представление частотно-ограниченного сигнала s{t) обобщённы»! рядом Фурье, где веса разложения - это отсчёты сигнала л(0. а \f (/)} - ансамбль ортогональных функций, используемых в ортогональном разложении.

124. Эквивалентная шумовая полоса частот системы определена как -\\Н{/df, где

G = ma \j (/)!". Используя это определение, найдите зквивалентщю шумовую полосу идеального по.юсового фильтра, показанного на рисунке Р2.12, и низкочастотного фильтра. пок;1занного на рисунке Р2.16.