Получив вероятность ошибки для двоичной ФМ при разнесении, теперь обратим наше внимание на двоичную ортогональную ЧМ при когерентном детектировании. В этом случае, две величины для решения на выходе сумматора максимальных отношений можно выразить так

f/, =Re

i:o.kNk

\к=\

(14.4.19)

причём мы предположили, что был передан сигнал а {Л/,} и {А/,} являются двумя

ансамблями шумовых компонент на выходе согласованных фильтров.

Вероятность ошибки равно вероятности того, что L, > f/,. Этот расчет подобен расчету для ФМ, исключая того, что мы теперь имеем удвоение мошности шума. Следовательно, когда {а } фиксированы, условная вероятность ошибки равна для ЧМ

Рг{Уь)=а[4уХ (14.4.20)

Используем (14.4.13) для усреднения Pilb) статистике замираний. Не удивительно.

что мы найдем, что результат (14.4.15) остается в силе с заменой на у. Т.е., (14.4.15)

определяет вероятность ошибки для двоичной ортогональной ЧМ при когерентном детектировании с параметром ц, равным

2 + y.

Далее, для больших значений вероятность можно выразить так

(14.4.21)

(14.4.22)

Сравнивая (14.4.22) и (14.4.18), видим, что разница в 3 дБ по ОСШ между ФМ и ортогональной ЧМ при когерентном детектировании, сушествующая в канале без замираний и без рассеяния, остается такой же в канале с замираниями.

В проведенном выше обследовании двоичных систем ЧМ и ФМ при когерентном детектировании, мы предположили, что на приеме используются свободные от шума оценки комплексных канальных параметров {хе~**}. Поскольку канал меняется во

времени параметры е"-***} нельзя оценить точно. Действительно, в некоторых каналах

изменения во времени могут быть достаточно быстрыми и препятствовать применению когерентного детектирования. В этом случае мы рассмотрим использование либо ДФМ или ЧМ с некогерентным детектированием.

Сначала рассмотрим ДФМ. Чтобы использовать ДФМ изменения в канале должны быть достаточно медленными для того, чтобы фазовые сдвиги {ф} не менялись заметно на двух соседних сигнальных интервалах. В нашем анализе мы предположим, что канальные параметры {хе"**} остаются постоянными на два соседних сигнальных

интервала. Таким образом сумматор для двоичных ДФМ выдает на выходе величину для решения

f/ = Re Z;(2&t;,e + iV, J(2gae* + N,,) , (14.4.23)

.k=\

где {Ni} и [Nj] означают принимаемые шумовые компоненты на выходе согласованных фильтров на двух соседних сигнальных интервалах. Вероятность ошибки равна вероятности того, что U<0. Поскольку (/-это частный случай общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин, обсуждаемой в приложении В, вероятность ошибки можно найти непосредственно из результатов, данных в этих приложениях. Альтернативно, мы можем использовать вероятность ошибки, определяемую (12.1.3), для сигналов двоичной ДФМ, передаваемых по L неизменных во времени каналам, и усреднить её по релеевской статистике замирающего сигнала. Таким образом мы имеем условную вероятность ошибки

e-S**y6. (14.4.24)

где Yj определяется (14.4.9) и

(14.4.25)

« )

Усреднение Piiyb) с учетом ФПВ />(уь), определяемый (14.4.13), легко приводит к результату

J L-\-l

Z.-I

2-(/.-l)!(H-yj

ll+Y..

(14.4.26)

Отметим, что результат (14.4.26) можно преобразовать к виду (14.4.15), который применим также для когерентной ФМ и ЧМ. Для двоичной ДФМ параметр ц в (14.4.15) определяется так (смотри приложение С)

li = 7%

1+Yc

(14.4.27)

Для »1 вероятность ошибки в (14.4.26) можно аппроксимировать выражением

12yJ

21-\Л

(14.4.28)

Последний тип сигналов, который мы рассмотрим в этом разделе, - это сигналы двоичной ЧМ с некогерентным детектированием. Такие сигналы подходят как при медленных, так и при быстрых замираниях. Однако анализ качества, проведенный ниже, основывается на предположении, что замирания достаточно медленные, так что канальные параметры {хе"**} остаются постоянными на сигнальном интервале. Сумматоры

многоканальных сигналов являются сумматорами квадратов выходов согласованных фильтров. Их выходы определяют две величины для решения

(/,=Z;2&t,e->*+A„f

"1 (14.4.29)

причём считается, что (/, содержит полезный сигнал. Вероятность ошибки это вероятность того, что (/j > (/,. Как и в случае ДФМ, мы имеем выбор из двух подходов в определении качества ЧМ при квадратичном сложении. В разделе 12.1 мы указали, что выражение для вероягности ошибки двоичной ЧМ при квадратичном сложении сигналов такое же как для ДФМ с заменой Уь на Уь- Это значит, что двоичная ЧМ требует

дополнительно увеличение ОСШ на 3 дБ для достижения неизменного качества в канале с постоянными параметрами. Следовательно, условная вероятность- ошибки ДФМ, определяемая (14.4.24), остается при квадратичном сложении справедливой и для ЧМ если Yft заменить на у. Результат, полученный при усреднении (14.2.24) по статистике

замираний и даваемый (14.4.26) также применим для ЧМ с заменой на Но мы

также установили прежде, что (14.4.26) и (14.4.15) эквивалентны. Следовательно вероятность ошибки, даваемое (14-4-15) также справедлива при квадратичном сложении ЧМ с параметром [а, определяемом так

2 + Y.

(14.4.30)

Альтернативный подход, использованный Пирсом (1958) для получения вероятности того, что и., > fy, так же прост, как метод, описанный выше. Он начинается с ФПВ p{U) и

Поскольку комплексные случайные величины {ixe }, {N} и {Л,} распределены по Гауссу с нулевыми средними, величины для решения f/, и f/, распределены согласно хи-квадрат распределению с 2L степенями свободы. Это значит

Аналогично

2а; Г = 2Щ{\ + у,).

(14.4.31)

(2alf(L-\y

W;- ехр

Ил 2а;

(14.4.32)

al = 2nN,.

Вероятность ошибки и есть вероятность того, что (/j > • Читателю оставляется в качестве упражнения показать, что эта вероятность определяется (14.4.15), где р, определяется (14.4.30).

Если »1, вероятность ошибки для ЧМ с квадратичным детектированием можно

упростить, как мы это делали раньше для других двоичных многоканальных систем. В этом случае вероятность ошибки хорошо аппроксимируется выражением

(14.4.33)

Вероятность ошибки для ФМ, ДФМ, ортогональной ЧМ с некогерентным детектированием иллюстрируется на рис. 14.4.2 при L=\, 2 и 4.

Качество определяется как функция от среднего ОСШ на бит у, которое связано со

средним ОСШ на канал формулой

Y*=Y.. (14.4.34)

Результаты рис. 14.4.2 ясно иллюстрируют выгоду разнесения как средство для преодоления тяжелых потерь в ОСШ, вызванные замираниями.