слов. Для этой цели используется п согласованных фильтров, каждый с одной из п частот. В предположении статистической независимости замирающих сигналов и аддитивного белого гауссовского шума в п частотных ячейках огибающие выходов согласованных фильтров возводятся в квадрат и суммируются для образования М величин для реЩения

.-Sskr / = 1,2,...,2\ (14.6.15)

соответствует квадрату огибающей фильтра для j -й частоты, где 7 = 1, 2,

Можно ожидать, что условие постоянства веса кода серьезно ограничит выбор кода. Однако это не так. Чтобы это проиллюстрировать, мы сжато опишем некоторые методы для конструирования кодов с постоянным весом. Это обсуждение не является исчерпывающим.

Метод 1: Нелинейные преобразования линейного кода. В общем, если при образовании каждого кодового нового слова произвольного двоичного кода мы используем одну двоичную последовательность при каждом появлении О и другую последовательность для каждой 1, то можно получить двоичный блоковый код с постоянным весом, если две используемые последовательности имеют равный вес и равную длину. Если длина используемой последовательности v и её исходный код («, к), тогда результирующий код с постоянным весом будет кодом {vn,k). Вес кодового слова будет в п раз больше веса использованных последовательностей, а минимальное расстояние будет равно минимальному расстоянию исходного кода, умноженному на расстояние между двумя используемыми последовательностями. Таким образом, использование дополнительных последовательностей, когда v четно, даёт код с минимальным расстоянием vd и весом vn.

Простейшая форма этого метода это случай, когда v = 2 и, когда каждый О заменяется на пару 01 и каждая 1 заменяется последовательности 10 (или наоборот). В качестве примера возьмём в качестве исходного кода расширенный код Голея (24, 12). Параметры исходного и результирующего кодов с постоянным весом даны в табл. 14.6.1.

Таблица 14.6.1. Пример кода с постоянным весом, формируемого методом 1

Метод 2: Вычёркивание. В этом методе мы начинаем с произвольного двоичного блокового кода и выбираем из него подмножество, состоящее из всех слов определённого веса. Несколько различных кодов с постоянным весом можно получить из одного исходного кода, меняя выбор веса w. Поскольку кодовые слова результирующего кода с вычёркиванием можно рассматривать как подмножество всех перестановок любого кодового слова множества, Гаардер (1971) использовал для этого кода термин двоичная перестановочная модуляция с вычёркиванием (binary expurgated permutation modulation -BEXPERM). Действительно, двоичные блоковые коды с постоянным весом, сконструированные другими методами, также можно рассматривать как BEXPERM коды. Этот метод генерирования кодов с постоянным весом по существу противоположен

первому методу, в котором длина слова п держится постоянной, а объем (размер) кода М меняется. Лсно, что минимальное расстояние для подмножества с постоянным весом не меньше, чем в исходном коде.

В качестве примера мы рассмотрим код Голея (24, 12) и образуем два различных кода с постоянным весом, показанные в табл. 14.6.2.

Таблица 14.6.2. Примеры кодов с постоянным весом, формируемых вычёркиванием

Метод 3: Матрица Адамара. Может казаться, что этот метод формирует двоичный блоковый код с постоянным весом непосредственно, но фактически он является частным случаем метода вычеркивания. В этом методе формируется матрица Адамара, как описано в разделе 8.1.2 и создаётся код с постоянным весом путем выбора столбцов (кодовых слов) из этой матрицы. Напомним, что матрица Адамара это пхп матрица (п четное целое) из 1 и о со свойством, что один столбец отличается от любого другого столбца точно в

позициях. Один столбец матрицы нормально выбирается из одних нулей.

В любом из других столбцов половина элементов о и другая половина 1. Код Адамара с кодовыми словами размера 2(«-l) получается путем выбора этих /?-1 столбцов и их

дополнений. Выбирая М = 2* <2(w-l) из этих кодовых слов, мы получаем код Адамара, который мы обозначим Н{п,к), в котором каждое кодовое слово содержит к информационных символов. Результирующий код имеет постоянный вес in и минимальное расстояние d =2-

Поскольку п частотных ячеек используются для передачи к информационных символов, показатель расширения полосы для кода Адамара Н{п,к) определяется так:

В=- ячеек на информационный бит, к

что равно величине, обратной скорости кода. Среднее отношение сигнал-шум (ОСШ) на бит, обозначаемое у,, связано со средним ОСШ на ячейку соотношением

У.=]Уь = 2у,=2/?л.=. (14.6.16)

Сравним качество кода Адамара с постоянным весом при фиксированной офаниченной полосе частот с традиционным М-ичным ортогональным ансамблем сигналов, причем каждый сигнал имеет порядок разнесения L. М ортогональных сигналов с разнесением эквивалентны блоковому ортогональному коду, имеющему длину блока n = LM, а = log2M. Для примера, если М = 4 и L = 2, кодовые слова ортогонального кода равны

С, =[1 1000000] С2=[001 юооо] Сз =[00001 10 0] С4=[0000001 1]

Для передачи этих кодовых слов используется ООК модуляция, требующая п = 8 ячеек и поскольку каждое кодовое слово содержит к = 2 бита информации, показатель расширения полосы В=4 .В общем, мы обозначим ортогональный блоковый кОд 0{п,к). Показатель расширения полосы частот

= (ИЛИ)

Таким образом, ОСШ на бит связано с ОСШ на ячейку отношением

Y.=7Y.=M-Y.=M. (14.6.18)

Теперь обратим наше внимание на характеристику качества этих кодов. Во-первых, точное значение вероятности ошибки кодового слова (символа) для М-ичного ортогонального кода по каналу с релеевскими замираниями с разнесением было дано в замкнутой форме в разделе 14.4. Как показано раньше, это выражение скорее громоздкое для расчетов, особенно когда L или М или оба параметра большие. Вместо этого мы используем объединённую верхнюю границу, которая очень удобна. Это значит, для ансамбля из М ортогональных сигналов, вероятность ошибки на символ ограничена сверху

Р,, <{М-l)P,{L) = {2 -\)Р,{1)<ГЯ{1), (14.6.19)

где Р,!) " вероятность ошибки для двух ортогональных сигналов, каждый с разнесением порядка L, определяемая (14.6.12) с p = \/{2 + yJ. Вероятность ошибки на бит получается умножением на 2* /(2* -l), как объяснено раньше.

Простая верхняя (объединенная) граница вероятности ошибки для кодового слова кода Адамара Н{п,к) можно получить, если учесть, что вероятность ошибки различения между переданным кодовым словом и любым другим кодовым словом ограничена сверху величиной (2тш) - минимальное расстояние кода. Следовательно, верхняя

граница для равна

Р <{M-l)P,{dJ<tP,{dJ. (14.6.20)

Таким образом, «эффективный порядок разнесения» кода ООК модуляции равен Вероятность ошибки на бит можно выразить как / или она неплотно ограничена сверху

путем умножения Р на множитель 2*/(2-l), который является множителем, использованным выше для ортогональных кодов. Последний был выбран для расчетов вероятности ошибки, данных ниже.

Рис. 14.6.6 и 14.6.7 иллюстрируют соответственно вероятность ошибки выбранного числа кодов Адамара и ортогональных блоковых кодов, соответственно для нескольких показателей расширения полосы частот. Выгода, полученная от увеличения объема М алфавита (или к, так как klogM) и увеличения показателя расширения полосы частот очевидно из рассмотрения этих кривых. Заметим для примера, что двукратное повторение кода Я(20,5) приводит к коду, обозначенному 2(20,5) и имеющему показатель расширения полосы частот В=8. Рис. 14.6.8 показывает качество двух типов кодов, сравниваемых при равенстве показателя расширения полосы частот.

Можно увидеть, что кривые вероятности ошибки для кодов Адамара идут круче, чем соответствующие кривые для блоковых ортогональных кодов. Это характерное поведение