рА0) = [g,{t)g,{t)dt. (15.3.13)

Следовательно, (15.3.11) можно выразить в форме корреляционных метрик

c(r„b,) = 2;V6,(l)r, -J:tM{\)PjM. (15.3.14)

Эти корреляционные метрики можно также выразить в векторной форме

C(r„b,) = 2bIr,-blRA, (15.3.15)

и R-матрица корреляции с элементами pi.(0). Видно, что оптимальный детектор должен знать энергии принимаемых сигналов для расчёта корреляционных метрик.

Имеется 2* возможных выборов символов в информационных последовательностях К пользователей. Оптимальный детектор вычисляет корреляционные метрики для каждой возможной последовательности и выбирает последовательность, которая имеет наибольшую корреляционную метрику. Видно, что оптимальный детектор имеет сложность, которая растёт экспоненциально с числом пользователей К.

В целом оптимальный приёмник при синхронной передаче символов состоит из банка из К корреляторов или согласованных фильтров, за ними детектор , который вычисляет 2 корреляционных метрик, определяемых (15.3.15), соответствующих 2* возможным передаваемым информационным последовательностям. Затем детектор выбирает последовательность, соответствующую наибольшей корреляционной метрике.

Асинхронная передача. В этом случае имеются точно два соседних символа от каждого пользователя, которые перекрывают символ на сигнальном интервале рассматриваемого пользователя. Мы предполагаем, что приёмник знает энергии

принимаемых символов jgj для К пользователей и задержки передачи {х}. Ясно, что

эти параметры должны быть измерены на приёме или переданы приёмнику как сторонняя информация от пользователей посредством некоторого сигнала управления.

Оптимальный максимально правдоподобный приёмник вычисляет функцию правдоподобия

J-NT*2T о

л(ь)=1K/)-2:vzok(/-T-xj

к=\ 1=1

= f- 2Zyli:Mi)\"\{t)g,(,-iT-x,)dt + (15.3.16)

dt =

к к N N

где b представляет последовательность данных от К пользователей. Интеграл от r{t) можно упустить поскольку он общий для всех возможных последовательностей. Интеграл

r,ii)i;ll"rit)g,(t-iT-x,)dt, l<i<N (15.3.17)

представляет выход коррелятора или согласованного фильтра для к-го пользователя на каждом сигнальном интервале. Наконец, интеграл

•NT+2T О

gk[l-iT-x,)g{l-jT-x)dl =

[NT+iT-iT-ii, , . / \ (15.3.18)

gMg\t + iT-jT+x,-x,)dt

можно легко разложить на слагаемые, включающие взаимную корреляцию

Ри(т) = Ри(т. - т,), для к<,1 ч Pft(T) для к>1. Следовательно, мы видим что функция

правдоподобия можно выразить через слагаемые корреляционных метрик, которые

включают выходы {г(/), 1< А: < АГ, 1</< 7} К корреляторов или .согласованных

фильтров - один для каждой из К адресных последовательностей. Используя векторные обозначения, можно показать, что выходы NK корреляторов или согласованных

фильтров - {t()} можно выразить в форме

где по определению

г = Rb + n

r = [r(l) r(2) ...r{N) rO) = l-iO) rjj) ...rf,(f)\ b-[b4l) b(2) ...b\N)

b(/)-[Vz»,(/) V6,(/) ... b{i)

n = [n4l) n(2) ...niN) п(/) = [а/,(/) h.O) ...Ufii) RO) Rjd) 0

(15.3.19)

(15.3.20)

(15.3.21)

(15.3.22)

Rl) RO) Rd) 0

(15.3.23)

0 0 0 R„(l) RJO) KliS) 0 0 0 0 R,(l) R,(0)

a R„(w) - матрица размером К у. К с элементами

= £Д/-т,(/+/"7-т> (15.3.24)

Векторы гауссовского шума п(/) имеют нулевые средние и автокорреляционную матрицу

n()n0)] = iAoR,(-7).

(15.3.25)

Заметим, что вектор г, определённый (15.3.19), образует достаточную статистику для оценивания передаваемых символов (/).

Если мы хотим проследить схему обработки то оптимальный МП детектор должен вычислить 2 корреляционных метрик и выбрать К последовательностей длины N, которые соответствуют наибольшей корреляционной метрике. Ясно, что такой подход слишком сложен в вычислительном отношении, чтобы быть реализуемом на практике, особенно, когда К и N велико. Альтернативный подход-МП оценивание

последовательностей, использующее алгоритм Витерби. Чтобы сконструировать детектор последовательного типа, мы должны использовать то обстоятельство, что каждый передаваемый символ перекрывается с 2К-2 символами. Таким образом, получается существенное уменьщение вычислительной сложности с учётом параметра длины блока N, но экспоненциальная зависимость от К остаётся.

Важно, что оптимальный МП приёмник, использующий алгоритм Витерби, предполагает такую большую вычислительную сложность, что его использование на практике ограничено системами связи, в которых число пользователей крайне мало, например К<\0. Для больших значений К следует рассматривать детектор последовательного типа, который схож или последовательному детектированию, или стек алгоритмам, описанным в гл. 8. Ниже мы рассмотрим некоторые субоптимальные детекторы, сложность которых растёт линейно с К.

15.3.3. Субоптимальные детекторы

В выше приведённом обсуждении мы видели, что оптимальный детектор для К пользователей СОМАимеет вычислительную сложность, измеряемую числом арифметических операций (сложений и умножений/делений) на модулированный символ, которые увеличиваются экспоненциально с АГ. В этом подразделе мы опишем субоптимальные детекторы с вычислительной сложностью, которая растёт линейно с числом пользователей К. Мы начнём с простейшего субоптимального детектора, который мы назовём общепринятым (для одного пользователя) детектором.

Общепринятый детектор для одного пользователя. В общепринятом детектировании сигнала одного пользователя приёмник для каждого пользователя состоит из демодулятора, который коррелирует (согласованно фильтрует) принимаемый сигнал с адресной последовательностью пользователя и подаёт выход коррелятора на детектор, который выносит решение, основываясь на выход единственного коррелятора. Таким образом, общепринятый детектор пренебрегает присутствием других пользователей канала или, что эквивалентно, предполагает, что аппаратурный шум вместе с интерференцией является белым и гауссовским.

Рассмотрим синхронную передачу. Тогда выход коррелятора для к-го пользователя на сигнальном интервале ()</</ равен

r,=j%0)g,{t)d/, (15.3.26)

rk=KШ + ilb.(\)p.,{0) + n,{\), (15.3.27)

где компонента шума (l) равна

n,(\) = [n{/)g,{l)dl. (15.3.28)

Поскольку w(/) - белый гауссовский шум со спектральной плотностью мощности I N„ дисперсия «j(l) равна

е[п1(\)] = iN,Jlgli/)dl = \N,. (15.3.29)

Ясно, если адресные последовательности ортогональны, интерференция от других пользователей, определённая средним слагаемым в (15.3.22), исчезает и общепринятый детектор одного пользователя оптимален. С другой стороны, если одна или больше адресных последовательностей не ортогональны к адресной последовательности данного