Другое, в определенной степени иное, решение можно получить, если мы осуществим линейное преобразование Ь" = Аг, где матрица А определяется так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки (СКО)

J(b) = £[(b-b"f (b-b")] = 4(b-Ar)(b-Ar)] (15.3.47) Легко показать, что оптимальный выбор А, который минимизирует J(b) равен

A°=(R+i;Voir (15.3.48)

и, следовательно

b° = (R„+i;„l)"r. (15.3.49)

Затем выход детектора определяется как b = sgnb" j.

Оценка, определяемая (15.3.49), называется оценкой по минимуму СКО (МСКО) для b. Заметим, что когда i мало по сравнению с диагональными элементами матрицы R, решение МСКО приближается к МП решению, определяемому (15.3.45). С другой стороны, когда уровень шума большой по сравнению с уровнем сигнала в диагональных элементах матрицы R матрица Л" приближается к единичной матрице (со скаляром iiVg). В этом случае (низкого ОСШ) детектор принципиально игнорирует интерференцию от других пользователей, поскольку аддитивный шум является доминирующим слагаемым.

Можно также отметить, что критерий МСКО дает смещённую оценку Ь. Следовательно, остаётся некоторая остаточная интерференция многих пользователей.

Чтобы вьшолнить вычисления, ведущие к b, мы решаем систему линейных уравнений

(R„+i7\ol)b = r. (15.3.50)

Это решение можно эффективно выполнить, используя факторизацию матрицы Яд,+ 2Ло1, как указано выше. Таким образом, детектирование NK символов требует

ЗЛЛГ" умножений. Следовательно, вычислительная сложность определяется как ЗК умножений на символ (бит), причём она не зависит от длины блока N и линейно связана с К.

Другие типы детекторов. Детектор с декорреляцией и МСКО детектор, описанные выше, включают формирование линейных преобразований блока данных от К корреляторов или согласованных фильтров. МСКО детектор подобен линейному СКО эквалайзеру, описанному в главе 10. Следовательно, МСКО многопользовательское детектирование можно реализовать, используя линию задержки с отводами и с настраивающимися коэффициентами для каждого пользователя и выбирая коэффициенты фильтра для минимизации СКО для сигнала каждого пользователя. Таким образом, принимаемые информационные символы оцениваются последовательно с постоянной задержкой, вместо оценки блока символов.

Оценку Ь", определенную (15.3.46), получаемую обработкой блока из N символов детектором с декорреляцией, можно также вычислить последовательно. Хай и др. (1990) продемонстрировали, что передаваемые символы могут быть восстановлены последовательно от принимаемого сигнала путем использования разновидности эквалайзера с обратной связью по решению и с постоянной задержкой. Таким образом, здесь имеется похожесть между детектированием сигналов, искаженных МСИ в системе с одним пользователем и детектированием сигналов в системе со многими пользователями при ас синхронной передаче.

15.3.4. Характеристики качества детекторов

Вероятность ошибки на бит является обычно желательной мерой качества в системах со многими пользователями. Для расчета влияния интерференции многих пользователей на качество детектора одного пользователя, мы можем использовать в качестве исходной вероятность ошибки на бит для приёмника одного пользователя в отсутствие других пользователей канала, равную

Рк{Ук)-0(), (15.3.51)

где =%/Nq, g-энергия сигнала на бит, а 2 Л/о спектральная плотность мощности АБГШ.

Для случая оптимального детектора, как при синхронной, так и асинхронной передаче, вероятность ошибки предельно рассчитать трудно. В этом случае мы можем использовать (15.3.51), как нижнюю границу, а качество субоптимального детектора как верхнюю границу.

Рассмотрим сначала субоптимальный общепринятый детектор для одного пользователя. Для синхронной передачи выход коррелятора для к-го пользователя определяется (15.3.27). Следовательно вероятность ошибки для к-го пользователя, при условии наличия последовательности символов Ь, от других пользователей равна

Затем средняя вероятность ошибки

(15 3.52)

(15.3.53)

Вероятность (15.3.53) в основном определяется слагаемым, которое имеет наименьший аргумент Q-функции. Наименьший аргумент получается при ОСШ

¥к - S Ар.ДО) (15-3.54)

j \ jrk

(осш)„, =

Следовательно,

2(V2(OCniQ<P, <(ir \K-\)Q{2{0Cm)J. (15.3.55)

Аналогичный подход можно использовать для получения границ вероятности ошибки при асинхронной передаче. В случае детектора с декорреляцией, интерференция от других пользователей в целом ограничена. Следовательно, вероятность ошибки можно выразить так

Pk=Q{%hl), (15.3.56)

где а] - дисперсия шума для к-го элемента оценки Ъ°.

Пример 15.3.1. Рассмотрим случай синхронной передачи двух пользователей, где Ь" определяется (15.3.41). Определим вероятность ошибки.

Сигнальная компонента для первого .слагаемого (15.3.4) равна Jщ . Компонента шума

равна у 2~> Р~ коэффициент корреляции между двумя адресными сигналами. Дисперсия этого шума равна

(15.3.57)

(l-P)

(15.3.58)

Аналогичный результат можно получить для качества второго пользователя. Таким образом дисперсия шума увеличивается на множитель (l-p) . Это повышение шума

является платой за ограничение интерференции многих пользователей детектором с декорреляцией.

Вероятность ошибки для МСКО детектора равна (или похожа) на ту, которая определяет детектор с декорреляцией, когда уровень шума низок. Для примера, из (15.3.49) мы видим, что когда Nq мала относительно диагональных элементов матрицы корреляции сигналов R,,

bR-v. (15.3.59)

что является решением детектора с декорреляцией. Для малой интерференции других пользователей МСКО детектор приводит к малому увеличению шума по сравнению с детектором с декорреляцией, но имеет некоторое остаточное смещение, обусловленное другими пользователями. Так МСКО детектор стремится достичь баланс между остаточной интерференцией и увеличением шума.

Альтернативой вероятности ошибки, как меры качества, используемой для характеристики системы со многими пользователями, является ОСШ при наличии и отсутствии интерференции. В частности, (15.3.51) дает вероятность ошибки для к-го пользователя при отсутствии интерференции других пользователей. В этом случае ОСШ равно Y=%/iV(,. При наличии интерференции других пользователей пользователь, который передает сигнал с энергией \, будет иметь вероятность ошибки, превосходящей

Pk{ik)- Эффективное ОСШ определяются как ОСШ, требуемые для заданной вероятности ошибки

Рк=Рк{Ук)=ё,42Х (\53Щ

Эффективность определяется отношением уе/Ук представляет потерю качества, обусловленную интерференцией других пользователей. Желательным мерилом совершенства является асимптотическая эффективность, определяемая как

Л. = Ит. (15.3.61)

Эту величину часто легче сосчитать, чем вероятность ошибки.

Пример 15.3.2. Рассмотрим случай синхронной передачи символов от двух пользователей с энергией сигналов и iS. Определим асимптотическую эффективность общепринятого детектора.

В этом случае вероятность ошибки легко найти из (15.3.52) и (15.3.53) как

Однако асимптотическую эффективность можно рассчитать значительно легче. Она следует из определения (15.3.61) и (15.3.52): .