k=l i=-<a

означает принимаемый сигнал в момент t, где n{t) - белый гауссовский шум со спектральной плотностью ст", а Ь)е {- В следующих задачах вы должны сравнить структуру общепринятого детектора многих

пользователей со структурой оптимального приёмника для различных величин А , 0<В<1 и ст.

а покажите, гто при данном наблюдении {r{t),- со < г < l} достаточная статистика для данных 6, (о) и 62(0) является наблюдение на интервале / е [о,1 .

b Общепринятый (субоптимальный) детектор многих пользователей выбирает данные 6(0) согласно следующему правилу

**(0) = sgn(v),

Определите выражение для вероятности ошибки на бит для пользователя 1, использую обозначения

k=(4it)dt, Jo

P.2-j/l(2(M-

С Какова форма этого выражения для АО, В <1 и произвольном а ?

d Какова форма этого выражения для произвольно большого А , В<1 и произвольных а? О чем это говорит для общепринятого детектировании?

е Какова форма этого выражения для S = 1 и произвольных ст и А? Почему она отличается от результата (d)?

f Определите форму этого выражения для произвольно больших ст, произвольных А и S < 1. g Определите форму этого выражения для -> О, произвольного А и Д < 1.

15.7. Обратитесь к задаче 15.6. При максимально правдоподобном приёме последовательности в этом канале выбираются данные 6,(о) и 62(0). переданные на интервале [o,l] согласно правилу

6, {0),Ь (0)1 - arg Hiax л[{г(r),0 < Г < 1 Ja, ,Z)2 ],

где A{r{t),0<t <i\bi,b2 - функция правдоподобия и при данном наблюдении {r(t),0 <t <\} .Полезно записать эту максимизацию так

6, (0) Й2 (о) = argmaxargmaxA {r{t),Q < г < 1 jjft, /ij ],

где величина b, удовлетворяющая внутренней максимизации, может зависеть от 6,. Заметим, что потребность в «последовательном детектировании» мы избежали.

а Выразите эту максимизацию в наипростейшем виде, используя те же обозначения, чт в задаче 15.6 (Ь). Сведите эту максимизацию к простейшей форме, используя равенство

argmaxATe-- = arg max у; [х),

если, К>0 не зависит от х.

Ъ какова простейшая структура НК приёмника, если относительная мощность пользователей Л -> О ? Как она по сравнению с общепринятом детеетировании?

с Какова простейшая структура НК приёмника для В = 1 и произвольных .4 , ст ? Как он по сравнению с общепринятом детектированием? Почему?

d Какова простейшая структура НК приёмника для произвольно больших и произвольных А и В? Как она по сравнению с общепринятым детектировании? Определите вероятность ошибки для пользовате.чя 1 в этом случае. [Подсказка: используйте факт, что sgn(y2) = sgn(>2 ±Pi2) с высокой вероятностью в рассматриваемом случае].

с Определить вероятность ошибки НК приёмника для пользователя 1 при -> О и произвольно большом А и В < 1 ? Как она по сравнению с общепринятым детектированием?

f Какова структура НК приёмника для произвольно большом А и В<1 я произвольных ? Как она по сравнению с общепринятым детектированием? Что это говорит об общепринятом детектировании в этом

случае? [Подсказка: используйте факт, что Е грубо в А раз больше чем £>i ]. ♦

15.8. Рассмотрите асинхронную систему связи, показанную на рисунке Р15.8.

Линии связи

Согласованный фильтр 2

Рис. R 15.8

Постпроцессор

Постпроцессор

Два приёмника разнесены в пространстве, и белые шумовые процессы и n{t) можно

рассматривать как независимые. Шумовые процессы распределены одинаково со спектральной плотностью мощности ст, и имеют нулевые средние. Поскольку приёмники разнесены в пространстве, относительные задержки между пользователями не одинаковые - обозначим относительную задержку пользователя к на i -м приёмнике х Все оста.1ьные параметры сигна.юв совпадают для приёмников, а принимаемый сигнал на /-М приёмнике

k-l I-«•

где определен на интервале [0,т]. Вы можете предположить, что i-й приёмник имеет полную информацию об энергиях сигналов и относительных задержках т} и т. Хотя У-й приёмник возможно интересуется

только данными от /-го передатчика, заметьте, гто имеется свободная линия связи между моделью одного приёмника и постпроцессорными цепями другого. За каждым постпроцессором осуществляется решение пороговым детектированием. В этой задаче, вы можете рассмотреть право выбора за постпроцессором и за линией связи для того, чтобы улучшить качество.

а Какова вероятность ошибки на бит для пользователей 1 и 2 на паре приё.мников, которые не используют линии связи и не образуют постпроцессоров. Используйте следующие обозначения:

y,(l)=\s,((-lT-Y(f)cit

b Рассмотрите постпроцессор для приёмника 1. который принимает yil-l) и у{1) с линии связи и реализует следующую послепроцессорную обработку над >/,(/):

> (I) = у, (/)- P.gn[y, (/ -1)]- pl,)sgnb, (/)] . Определите точное выражение для вероятности ошибки на бит для пользователя 1. с Определите асимптотическую эффективность приёмника многих пользователей в (Ь) и сравните с (а). Будет ли этот приёмник всегда значительно лучше чем приёмник в (а).

15.9. Базовые сигналы, показанные на рисунке Р15.6, синтезированы д.1я двух пользователей, которые делят один и тот же асинхронный, узкополосной канал. Предположите, что В = 1 и .4 - 4 . Мы .хотели бы сравнить качество различных приёмников по критерию вероятности ошибки 3(о). Поскольку это выражение слишком сложное в некоторых случаях, мы хотим также поинтересоваться сравнением асимптотической эф([)ективности систем многих пользователей rj, для каждого приёмника. Предположим, что т, = О, О<т, <Т фиксировано и известно на приёме и предположим, что мы имеем неогршиченный диапазон передачи 2М +1 -> оо.

а Для общепринятого многопользовательского приёмника:

(i) Найдите точное выражение для вероятности ошибки для пользователя 1. Выразите этот результат через W., р,2, pj,, ст". [Подсказка: может помочь условная вероятность при фиксированном

и Ь,{0).

(ii) Изобразите асимптотическую эффективность многих пользователей ri,, как функцию т, .Укажите и объясните максимальные и минимальные значения г], на этом фафике.

b Для НК приёмника:

(i) Изобразите r\ как функцию Tj . Объясните максимальные и минимальные значения, сравните с a(ii).

(ii) Какие последовательности ошибок более вероятны для каждого значения ? с Для ограничивающего детектора с декорреляцией:

(i) Найдите точное выражение для вероятности ошибки для пользовате-та 1 с теми же параметрами, как в а (i) [Подсказка: не забудьте нормировать р, и pj, ].

(ii) Изобразите rj, как функцию от Объясните минимальное значение r\ в этом случае и сравните с а (ii).

15.10. Посимвольный детектор, который минимизирует вероятность ошибки на символ, отличается от минимально правдоподобного детектора последовательности. Последний более сложно описать чем детектор, который выбирает каждый (о) согласно правилу

по всем правилам решения при

бДо) = argmaxA[f(r),0 <г< lK{o)

а Покажите, что это правило решения минимизирует Л

наблюдении {f(t),0 < < l}. Согласно этому критерию превосходство за НК приёлшиком.

b Покажите, что простейшая структура приёмника, обеспечивающего минимизацию вероятности ошибки хчя пользователя 1, определяется так

6, (о) = arg max

с Найдите простейшую форму для приёмника, обеспечивающего минимум вероятности ошибки, для В = 1 и произвольных А и . Как она по сравнению с вышеуказанными приёмниками?

(1 Найдите предельную форму приёмника, минимизирующего вероятность ошибки, при произвольно больших ст и произвольных А и В .Сравните с вышеуказанными приёмниками.

е Найдите предельную форму приёмника, минимизирующего вероятность ошибки, для А»1 и произвольных ст, В . Сравните с вышеприведенными приёмниками.

f Найдите предельную форму приёмника, минимизир>тощего вероятность ошибки, для .4 »1, ст -> О и произвольного В . Сравните с вышеприведенными приёмниками.

15.11. В чистой системе Алоха канальная битовм скорость передачи равна 2400 бит/с. Предположим, что каждый терминал передает в среднем 100 бит сообщений.

а Определите максимальное число терминалов, которые можно использовать в канале, b повторите (а), если используется щелевая ALOHA.

15.12. Определите максимальный в.чодной трафик для чистой ALOHA и протокол для щелевой ALOHA.