через комплексные гауссовские случайные переменные, А , В и С являются константами; и У. - пара

коррелированных гауссовских случайных величин. Для рассматриваемых каналов L пар (Х, У}-

статистически взаимно независимы и одинаково распределены.

Вероятность ошибки определяется вероятностью того, что D < О. Эта вероятность вычисляется ниже.

Вычисления начинаются с характеристической функхщи, обознач!1емое Ц1о{]о), общей квадратичной

формы. Вероятность того, rro D < О, обозначаемое здесь как вероятность ошибки , равна

P,P{D<0)=CpiD)dD, (В.2)

J-to

где p{d) - ФПВ для d связанна с ЧвО) преобразованием Фурье, то есть

Следовательно,

2л J-"

(В.З)

Переменим порядок интефирования и сначаж! выполним интефирование по Z). В результате получаем

Рь=--\ d, (В.4)

где малое положительное число Е введено для того, гго сдвинуть путь интефирования от точки сингулярности u = О . Оно должно быть положительным для того, чтобы было возможным менять порядок интефирования.

Поскольку D является суммой статистически независимых случайных переменных хара1аеристическ;и функция D определяется произведением L характеристических функций, причем кажд;1я функция соответствует индивидуальным случайным переменным , где

d, =А\хХ +B\yX +СА%у; +cxiy, .

Характеристическая функция равна

(u + yu,Xu-yUj)

1"2

-е.хр

(В.5)

где параметры и,, , а, и а зависят от средних Л и и вторых (центральных) моментов р, р,,,и ц, комплексных гауссовских величин ЛГ и y. через следующее определение с -,4й>о):

и, - +

.4р+вр+Сц;+сх

(сГ-в)

(В.б)

+СА1у* +C.Y*yI; р, =£Г(\, -Xk)(y -У.)

Теперь, как результат независимости случайных величин d., характеристическая функция D равна

Результат (B.7) подставляется для vj/q(/o) в (В.4) и мы получаем

Этот интефал вычисляется следующим образом.

{u+>u,Xu-70,) J

(B.7)

(B.8)

(B.9)

Первый шаг сводится к выражению экспоненциальной функции в виде

Ji-A,.-J---1

о + уо, u-yu,J причём можно легко проверить, что константы A, и Aj определяются гак:

U, +0,

(B.IO)

Ha BTopovi шаге выполняется конформное преобразование из и-плоскости в р-плоскость посредством преобразования переменной

о.о-уо,

В р -плоскости интеграл (В.9) приводится к выражению

>00-2aU0 +а;0 -a3U;)/(u +u)

(В. 11)

(1 + и,/и.Г

Ч/(Р)Ф.

f(p) = А ч-ехр

и,+Uj

а Г- круговой контур радиуса меньше единицы включает начало координат. Третий шаг сводится к вычислению интеграла

гтуУ* Injir р-{\-р) L »,+»2 Р]

Для того, что о6.чегчить последующие выкладки, вводятся константы а > О и Ь>0

(В. 12)

(В. 13)

(В. 14)

о, +Ui

(В. 15)

Выразим также функцию (l + (оj /о, )рУ* как биномиальный ряд. В результате получаем

Г21-П А-

27yJr/(1-р)

е.\р

+ Ьр

(В. 16)

Контурный интефал в (В. 16) является одним из представлений функции Бесселя. Его можно разрешить, используя соотношение

2яу 1

Jr р

+ \Ьр

где /„(jc)-модифицированная функции Бесселя п-го порядка первого рода. Представление О-функции Маркума в ряд функций Бессе.1я имеет вид

Рассмотрим сначала случай в (В. 16). В этом случае результирующий контурный интсфал

можно записать в (]юрме

Этот контурный интефал связан с обобщенной функцией Маркума, определяемой так: a,(«,*)=f (/«)"ехр[-(хЧд)]/„ ,(ахК т>\, или

+ Wp

2я/.

Далее, рассмотрим слагаемое g-функцию так:

27yJr

k = L-\. Результирующий контурный интеграл может быть выражен через -+ ф = а(«.б)ехрЬ(а+6)]. (В.18)

Наконец, рассмотрим случай L<.k<.lL-\. Имеем

-ехр

(В. 19)

- Z ffT/„M=a(«.6)exp[i(a+6)]-/„H

Собирая слагаемые, указанные в первой части (В. 16), и используя результаты, даваемые (В.17)-(В.19), чаем после некоторых преобразований следующее выражение для контурного интеграла

(B.20)

Уравнение (B.20) в соединении с (В. 12) даёт результат для вероятности оши( упрощение, если использовать следующее тождество, которое можно легко доказать

{--(abl

ехр (-2a,u,u, -au, -ajuj

Таким образом, следует, что

=QXa,b)-I,(ab)exp[-{a +6]+

f2L-l\ к

-ехр

/оИехр[-(а+6)1 (l+u,/u,y-

L-l i-l-n/nr

л=1 *=o V

(l + u,/u,)

(B.21)

у Ч,/ 2. 1 *

(i>l).

=а(«,б)-ТТоИехр[--(а+й)] (L = l).

Это и есть искомое выражение для вероятности ошибки. Теперь несложно связать параметры а и й с моментами пары {Х/, }. Подставив выражения для .4j и из (В. 10) в (В. 15), получаем

2ufu,(a,u,-a,) 2ooau + aJ 2)

L ("i+Uj) J L ("1+12) J

Поскольку u,, Uj, a, и определяются (В.б) и (B.8) непосредственно через моменты пар и наша задача завершена.