R(D)lVlog2 iO<D<a,). (3.4.19)

Соответствующая функция искажение-скорость

D(R) = 2-"*c>,\ (3.4.20)

Выражая в децибелах и нормируя к , получаем

\OlogD(R)/o =-3R/W. (3.4.21)

Большое количество случаев, в которых гауссовский процесс не является ни белым, ни с ограниченной полосой, было рассмотрено Галлагеро.м (1968) и Гобликом и Холсингером (1967).

3.4.2. Скалярное квантование

При кодировании источника квантователь может быть оптимизирован, если известна ФПВ уровней сигнала на входе квантователя. Например, предположим, что последовательность {х„} на входе квантователя имеет ФПВ р{х) и - желаемое число уровней квантования. Необходимо рассчитать оптимальный скалярный квантователь, который минимизирует некоторую функцию ошибки квантования q = x-x, где- л:-

квантованное значение х. Для дальнейшей разработки предположим, что f{x-x) определяет желательную функцию ошибки. Тогда искажение, возникающее за счёт квантования сигнальных уровней, равно

D= г f(x-x)pix)dx. (3.4.22)

-OD

В общем, оптимальный квантователь минимизирует D путём оптимального выбора выходных уровней и входного диапазона для каждого выходного уровня. Эту оптимизационную проблему рассматривали Ллойд (1982) и Макс (1960), и полученный оптимальный квантователь назван квантователем Ллойда-Макса.

У равномерного квантователя выходные уровни определяются как х =у(2-1)Д для • амплитуды входного сигнала в диапазоне (k-i)A<x<kA, где А -размер шага квантования. Если квантователь симметричен (относительно нуля) с конечным числом уровней, среднее искажение (3.4.22) может быгь выражено в виде

D-2g fm2k-.\)A-x)p(x)dx + 2 Ji\(2k-l)A-x)pix)dx . - -(3.4.23)-

В этом случае минимизация D выполняется с учётом параметра размера шага А. Путём дифференцирования D по Д получаем

l)J*/(i(2i-l)A-x)p(x)-b(Z-l)j;j /4K-l)A--)PW = 0> (3-4.24)

где f{x) означает производную f{x). При выборе критериальной функции ошибки f{x) можно получить численное решение (3.4.24) для оптимального размера шага на компьютере для произвольной заданной ФПВ р(х). Для среднеквадратичного критерия ошибки, кодау(х)=х, Макс(1960) рассчитал оптимальный размер шага А и минимальное 1

значение среднеквадратической ошибки, когда ФПВ р(х) является гауссовской с нулевым средним и единичной дисперсией. Некоторые из этих результатов даны в табл. 3.4.2.

Таблица 3.4.2. Оптимальные размеры шага при равномерном квантовании гауссовских случайных величин

Видим, что минимальная среднеквадратическая ошибка Д,„„ уменьшается немного больше, чем на 5 дБ, при каждом удвоении числа уровней L. Следовательно, каждый бит, который используется равномерным квантователем с оптимальным размером числа Л,.

для гауссовского входного сигнала уменьшает искажение более чем на 5 дБ.

Если соблюдать условие, что квантователь равномерный, искажение можно дополнительно уменьшить. В этом случае мы выберем выходной уровень Зс = 3?, когда

амплитуда входного сигнала находится в диапазоне х < лс < . Для квантования с L

уровнями крайними точками являются - -со и х, = сю. Результирующее искажение

D-JL? f(x,-x)p(x)dx (3.4.25)

снова минимизируется путём оптимального выбора {х} и {х .

Необходимые условия для минимальных искажений можно получить

ди1)(15еренцированием D по уравнениями:

и {xj}. Результат такой оптимизации выражается двумя

f(Xk -x,) = f(x,t -X,), к = 1,2, ...,L-l, " f(x,-x)pix)dx = 0, k = \,2,...,L.

(3.4.26) (3.4.27)

Как частный случай мы снова рассмотрим минимизацию среднеквадратических значений искажений. В этом случае, /(х)= х, и, следовательно, из (3.4.26) следует

к-Нк+кЛ = l,2,...,i-l, (3.4.28)

что является среднеарифметическим х и х,. Соответствующие уравнения.

определяющие

Г (X, -x)p(x)dx о, А:-1, 2, ...,Z . (3 4.29)

Таким образом, х является центроидом области р{х) между х,, и х. Эти уравнения могут быть решены численно для произвольных ФПВ р{х). Таблицы 3.4.3 и 3.4.4 дают

результаты оптимизации Макса (1960) для оптимального четырёхуровневого и восьмиуровневого квантователя сигнала, распределённого по Гауссу с нулевым средним и единичной дисперсией.

Таблица 3.4.3. Оптимальный 4-уровневый квантователь для гауссовской случайной величины

Уровень к

1 -0,9816 -1,510

2 0,0 -0,4528

3 0,9816 0,4528

4 00 1,510

А,.,., =0,1175 lOlg =-9,3 дБ

Таблица 3.4.4. Оптимальный 8-уровневый квантизатор для гауссовской случайной величины (Макс, 1960)

=0,03454 101gD =-14,62 дБ

В таблице 3.4.5 сравниваются минимальные среднеквадратические искажения для гауссовской амплитуды сигнала в равномерном и неравномерном квантователях. Из этой таблицы мы видим, что разница в характеристиках двух типов квантователей относительно мала для малых значений R (меньше чем 0,5 дБ для i? < 3), но она растёт с ростом R. Например: при R=5, неравномерный квантователь примерно на 1,5 дБ лучше равномерного.

Таблица 3.4.5. Сравнение оптимальных равномерного и неравномерного квантизаторов для гауссовской случайной величины (Макс, I960; Паез и Глиссон, 1972)

Поучительно построить кривые зависимости минимальных искажений от битовой скорости R - log, L бит на отсчёт (на символ) источника для равномерного и неравномерного квантователей.