s(t)

r(tys{t)+n{t)

Рис. 1.3.1. Канал с аддитивным шумом

Если шум обусловлен в основном электронными компонентами и усилителями в приёмнике, его можно описать как тепловой шум. Этот тип шума характеризуется статистически как гауссовский шумовой процесс. Как следствие, результирующую математическую модель обычно называют капачом с аддитивным гауссовским и/умом. Поскольку эта модель применима к широкому классу физических каналов связи и имеет простую математическую интерпретацию, она является преобладающей моделью канала при анализе и синтезе систем связи. Затухание каналов легко включается в модель. Если при прохождении через канал сигнал подвергается ослаблению, то принимаемый сигнал

rit)as{t) + nit), (1.3.1)

где а - коэффициент затухания линейного канального фильтра.

Линейный фильтровой канал. В некоторых физических каналах, таких как проводные телефонные каналы, фильтры используются для того, чтобы гарантировать, чго передаваемые сигналы не превышают точно установленные ограничения на ширину полосы и, таким образом, не интерферируют друг с другом. Такие каналы обычно характериз>тотся математически как линейные фильтровые каналы с аддитивным шyюм, что иллюстрируется на рис. 1.3.2. Следовательно, если на вход канала поступает сигнал s{t), на выходе канала имеем сигнал

rit) = s{t)*c(t) + ,it)= Г c{x)-5{(-T)ch + iit). (1.3.2)

где с{1) - импульсная характеристика линейного фильтра, а * обозначает свертку.

Канал

r{i)-sO)*cO)+n(l)

Рис 1.3.2. Линейный фильтровой канал с аддитивным шумом

Линейный фильтровой канал с переменными параметрами Физические каналы, такие как подводные акустические каналы и ионосферные радиоканалы, которые возникают в условиях меняющегося во времени многопутевого распространения передаваемого сигнала, могут быть описаны математически как линейные фильтры с переменными параметрами. Такие линейные фильтры характеризуются меняющимися во времени импульсной характеристикой канала с(т,/), где c(x,t) отклик канала в момент времени t на 5-импульс, поданный ко входу в момент / т. Таким образом, х представляет

ЛпмеГтыП -\

.фильтре переменными параме грамм

Канал n{t)

Рис. 1.3.3. Линейный фильтровой канал с переменными параметрами и аддитивным шумом

«ретроспективную» переменную. Линейный фильтровой канал с переменными параметрами и аддитивным шумом иллюстрируется на рис. 1.3.3. Для входного сигнала s{f) выходной сигнал канала

At) = s{t)* cix;t) + n{t)= Г с(т;t) s{t - тт + n{t). (1-3.3)

Хорошей моделью для многопутевого распространения волн через физические каналы 1ипа ионосферы (на частотах ниже 30 МГц) и каналы подвижной сотовой радиосвязи является частный случай (1.3.3), когда неременная во времени импульсная характеристика канала имеет вид

c{x;t) = Y,a,{t){x-x,). (1.3.4)

где (ла(0} определяет возможные меняющиеся во времени коэффициенты затухания для L путей распространения, {(та-)} соответствующие им времена задержки. Если (1.3.4) подставить в (1.3.3), то принимаемый сигнал

rit)-Ya,{t)s{T-x,yn{t). (1.3.5)

Следовательно, полученный сигнал состоит из L компонентов распространения, где каждый компонент умножается на aiSj) и запаздывает на та- .

Три математические модели, описанные выше, адекватно характеризуют большинство физических каналов, с которыми сталкиваются на практике. Эти три модели канала используются в книге для анализа и синтеза систем связи.

1.4. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ

Следует отметить, что самая ранняя форма электрической связи, а именно телеграфная связь, была системой цифровой связи. Электрический телеграф был разработан Сэмюэлем Морзе и демонстрировался в 1837 г. Морзе изобрел двоичный код переменой длины, в котором буквы английского алфавита представлены последовательностью точек и тире (кодовые слова). В этом коде часто встречающиеся буквы представлены короткими кодовыми словами, в то время как буквы, встречающиеся менее часто, - более короткими кодовыми словами. Таким образом, код Морзе был предшественником методов кодирования источников кодом переменной длины, описанных в гл. 3.

Почти 40 годами позже, в 1875 г., Эмиль Бодо изобрёл код для телеграфной связи, в котором каждая буква кодировалась двоичным кодом фиксированной длины 5. В коде Бодо элементы двоичного кода имеют равную длину и именуются посылкой и паузой.

Хотя Морзе принадлежит первая электрическая система цифровой связи (телеграфная связь) начало того, что мы теперь считаем современной теорией цифровой связи, следует из работ Найквиста (1924), исследовавшего проблему определения максимальной скорости передачи, которую можно обеспечить по телеграфному каналу данной ширины полосы частот без межсимвольной интерференции (МСИ). Он сформулировал модель телеграфной системы, в которой передаваемый сигнал имеет общую форму

s{t) = Y,g{t-nT),

(1.4.1)

где g(t) - базовая форма импульса (несущей), {а} последовательность данных в двоичном коде ( +1), передаваемых со скоростью 1/Г бит/с.

Найквист пытался определить оптимальную форму импульса g(t) с ограниченной полосой IV Гц и максимизировать скорость передачи данных в предположении, что импульс не вызывает МСИ в точках отсчёта кТ, к - 0.±\,±2,... Эти исследования

привели его к заключению, что максимальная скорость передачи равна 2W отсч./с. Эту скорость теперь называют скоростью Найквиста. Более того, эту скорость передачи можно достичь при использовании импульса g{t) = sinlnWl/(inWf). Эта форма импульса допускает восстановление данных без ме>1<С1Мволы1ых помех в выборочные моменты времени. Результат Найквиста эквивалентен версии теоремы отсчётов для сигналов с ограниченной полосой, который был позже точно сформулирован Шенноном (1948). Теорема отсчётов гласит, что сигнал с шириной полосы частот Ж может быть восстановлен по его отсчетам взятым со скоростью Найквиста 2W, путем использования интерполяционной формулы

2TiW[t-nl{2W))

2nlv(t-n/{2W))

(1.4.2)

В продолжение работы Найквиста Хартли (1928) рассмотрел вопрос о количестве данных, которые могут быть переданы надежно по каналу с ограниченной полосой частот, когда для последовательной передачи данных используются импульсы со многими амплитудными уровнями. С учетом шума и другой интерференции Хартли показал, что приемник может надежно оценивать амплитуду принятого сигнала с некоторой точностью As. Это исследование привело Хартли к заключению, что имеется максимальная скорость передачи данных по каналу с ограниченной полосой частот, зависящая от максимальной амплитуды сигнала yiniax (фиксированной максимальной мощности) и величины .а.

Теорема отсчётов (Котельникова) на самом деле дуальна теореме Найквиста: в первой речь идет о передаче непрерывного сигнала с помощью его отсчетов (по каналу с дискретным временем), а во второй - о передаче дискретного сигнала (последовательности отсчётов) по непрерывному каналу. В первой теореме А/ < ] (ZW), а во второй - А/ > 1 (21V). На практике никогда не достигается равенство, поэтому в первой теореме Al<\/{2IV). а во второй - At >\/{2W) (прп - так будем сокращённо обозначать примечания редактора перевода).

Теорема отсчёгов в теории связи была впервые сформулирована и доказана В.А. Котельниковым (1933) [1] (дополнительные ссылки на литературные источники, введенные редактором перевода, даны отдельным списком), причём в более общем виде, чем (1.4.2). Общий вид теоремы отсчётов следует из (1.4.2), если в этой

формуле заменить (/ - «/(2)) на (/ - пА(), где А/ < I (IIV) (прп).