ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ СВЯЗИ

Сигналы можно характеризовать различными способами, как случайные или детерминированные, с дискретными либо непрерывными амплитудами низкочастотные или полосовые, с ограниченной или неограниченной энергией, с ограниченной или неограниченной мощностью и т.д. В этой главе мы рассмотрим характеристики сигналов и систем, которые обычно встречаются при передаче цифровой информации по каналам связи. В частности, мы введём представление различных форм сигналов при цифровой модуляции и опишем их спектральные характеристики.

Начнём с характеристики полосовых сигналов и систем, включая математические представления полосовых стационарных случайных процессов. Затем мы ознакомимся с векторным представлением сигналов. Завершим главу представлением сигналов цифровой .модуляции и их спектральными характеристиками.

4.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОСОВЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ

Многие сигналы, порождённые цифровыми сообщениями, передаются посредством какого-либо вида модуляции несущей. Канал, через который передается сигнал, ограничен по полосе интервалом частот, концентрируемых около частоты несущей, как при двухполосной модуляции, или в смежной от несущей полосе, как при однополосной модуляции. Сигналы и каналы, которые удовлетворяют условиям, что их полоса частот значительно меньше, чем их несущая, называют узкопо.чоспымн сигиа.чс.т i каналами. Модуляция, осуществляемая на передающей стороне системы связи для создания полосового сигнала, и демодуляция, осуществляемая на приёмной стороне, чтобы выделить цифровую информацию, предполагают преобразование частоты. Без потери общности и для математического удобства желательно представить все полосовые сигналы и каналы эквивалентными низкочастотными сигналами и каналами. Как следствие, качественные результаты различной техники модуляции и демодуляции, представленные в последующих главах, не зависят от частоты несущей и полосы частот канала. Представление полосовых сигналов и систем через эквивалентные низкочастотные формы и описания полосовых стационарных случайных процессов являются основными предметами этого раздела.

4.1.1. Представление полосовых сигналов

Предположим, что вещественный сигнал s{t) имеет частоты, концентрированные в узкой полосе частот вблизи частоты /., как показано на рис. 4.1.1.

Наша цель-дать математическое представление таких сигналов. Сначала мы сконструируем сигнал, который содержит только положительные частоты из s[f). Такой сигнал можно выразить как

sXf) = 2u{f)s(f), (4.1.1)

где 5 (/)-преобразование Фурье F[.y(/)] от s{t), а г/(/) - единичная ступенчатая функция. Эквивалентное представление (4.1.1) во временной области

А [S(f)\

-Л О /

Рис. 4.1.1. Спектр полосового сигнала

sSl)-[j/y-df - Г-Щ/)Ур-[5{/)]. (4.1.2) Сигнал s {t) называется аналитическим- сигналом для s{l). Заметим,

4T0F

S{f)] = s{t) и

2w(/)l = 5(/) +

Следовательно,

Определим

5{/) +

г" s

s{t) =-*s{t) = -

nt п t-z

(4.1.3) (4.1.4)

(4.1.5)

Сигнал s{t) можно рассматривать как выход фильтра с импульсной характеристикой

Л(/)=-, -оо</<оо, (4.1.6)

при подаче на вход сигнала s{t). Такой фильтр называют преобразователем Гильберта. Частотная характеристика такого фильтра очень проста:

\-j (/>о)

Я(/) =- г h{t)Q""dt = J- Г je- = •

i-sn п -Lin i

о (/ = 0), (4.1.7)

j (/<o)- -

Заметим, что Я(/) - 1 при / ?t О и что фазовая характеристика

[-л/2 для />0, :/2 для /<0.

Следовательно, этот фильтр по существу - фазовращатель на 90° для всех частот входного сигнала.

Аналитический сигнал sJS) является полосовым сигналом. Мы можем получить эквивалентное низкочастотное представление, выполнив частотное преобразование S\f\. Определим так:

Эквивалентное соотношение во временной, области

или, что эквивалентно.

.Х/)-;(/)е-=[5(/)+ул(/) .(/)+у.1/) = .Д/)еУ.

(4.1.9) (4.1.10)

в общем случае сигнал S,{f) комплексный (см. задачу 4.5), и его можно выразить так:

s,{t) = xit) + Jy{t). (4.1.11)

Если мы подставим s,it) в (4.1.10) и приравняем вещественные и мнимые части с каждой стороны, получим соотношения

s{t) = x{t) coslnfj - yit) sinlnfj, (4.1.12)

s{t) = jc(/) sin 2Tzfj + yit) coslnfj. (4.1.13)

Выражение (4.1.12)-желательная форма представления полосового сигнала. Низкочастотные сигнальные компоненты х(/)и yit) можно рассматривать как сигналы, модулирующие по амплитуде соответственно несущие coslnfj и sinlnfj . Поскольку эти несущие находятся в квадратуре (сдвинуты по фазе на 90°), х(/)и yit) называют квадратурными компонентами полосового сигнала sit). Другое представление для сигнала (4.1.12) такое:

5(/) -Re{[x(/) + y>(/)]e-} = Re[5,(/)e-"], (4.1.14) где Re означает вещественную часть комплексной величины. Низкочастотный сигнал лД/) обычно называют комплексной огибающей вещественного сигнала sit). Она является по существу эквивалентным низкочастотным сигналом. Наконец, третья возможная форма представления полосового сигнала получается, если представить

s,it)ait)o\

ait) = ylx4t) + y4t), eW = arctg}.

(4.1.15)

(4.1.16) (4.1.17)

Тогда

(4.1.18)

. • s,it) = Re[,,(/)e] = Re[a(/)et"l

= «(/)cos[27r/,./ + e(/). Сигнал ait) называют (вещественной) огибающей sit), а 9(/) называют фазой sit). Таким образом, (4.1.12), (4.1.14) и (4.1.18) являются эквивалентными представлениями полосовых сигналов. Преобразование Фурье sit)

S(f)= £5(/)е -"/= £{Re[5,(/)e-]}e -"Л.

Если использовать равенство

Re() = i(4 + *) •

в (4.1.19), то следует \

S{f) = I [Js,it)e" +s,Ht)e-"y-"dt =

" =iHf-fc)+S.*{-f-fcl

где - преобразование Фурье от s,it). Это базовое соотношение между спектром

действительного полосового сигнала 5(/) и спектром эквивалентного низкочастотного сигнала 5/(/).

Энергия вещественного сигнала sit) определяется так: , , Г s\t)dt= Г \Re\s,it)c-y dt. (4.1.22)

(4.1.19) (4.1.20)

(4.1.21)