Если равенство (4.1.20) использовать в (4.1.22), то следует результат

s,it) dt + - s,{t) cos 4nf t + 29(/)

dt. (4.1.23)

Рассмотрим второй интеграл в (4.1.23). Поскольку сигнал s{t) узкополосный, то вещественная огибающая a{t) - s,{t) или, что эквивалентно, a{t) Sjit) меняется

медленно по сравнению с быстрыми изменениями функции косинуса. Графическая иллюстрация подынтегрального выражения во втором интеграле (4.1.21) дана на рис. 4.1.2. Величина этого интеграла равна площади под косинусной функцией, промодулированной сигналом a{l).

.-os[47t/;,/+20(/)J

Рис. 4.1.2. Сигнал cos[4n +29(0]

Поскольку модулирующий сигнал a{l) меняется медленно по сравнению с косинусной функцией, площадь, определяемая вторым интегралом, очень мала по сравнению с величиной первого интегрсша в 4.1.23, и, следовательно, вторым интегралом можно пренебречь. Таким образом, для всех практических приложений энергия полосового сигнала s{t), выраженная через эквивалентный низкочастотный сигнал s,{t), равна

W = [ \sM)\dt. где s{t) является огибающей a{t) для сигнала s{t).

(4.1.24)

4.1.2. Представление линейных полосовых систем

Линейный фильтр (линейная система) может быть описан или своей импульсной характеристикой h{t), или своей частотной характеристикой Я(/), которая является преобразованием Фурье от hit).

Поскольку h{t) вещественно, то

Определим Тогда

(4.1.25)

(4.1.26)

П-/-) = я*(-/) (/<0).

Используя (4.1.25), получаем соотношение

(/)=/(/~Л)+Л(-/-/с)

(4.1.27)

(4.1.28)

которое похоже на (4.1.21), за исключением множителя т. Обратное преобразование Фурье H{f) из (4.1.28) позволяет представить h{l) в виде

(/)-/?,(/) 6""+ ,*(/) е--"- =

= 2Ке[/,Д.)е-л],

где йД/) - обратное преобразование Фурье Hf)- В общем случае импульсная характеристика h,{t) эквивалентной низкочастотной системы принимает комплексные значения.

4.1.3. Отклик полосовой системы на полосовой сигнал

В разд. 4.1.1 и 4.1.2 мы показали, что узкополосные полосовые сигналы и системы могут быть представлены эквивалентными низкочастотными сигналами и системами. В этом разделе покажем, что выход полосовой системы на полосовой входной сигнал можно часто получить из эквивалентного низкочастотного входа сигнала и эквивалентной низкочастотной импульсной характеристики системы.

Предположим, что .s(/) - узкополосный полосовой сигнал, а s,{t) - эквивалентный низкочастотный сигнал. Этот сигнал поступает на узкополосную полосовую систему, определяемую своей полосовой импульсной характеристикой h{t) или эквивалентной низкочастотной импульсной характеристикой (ИХ) /гД/). Выход полосовой системы также является полосовым сигналом, и, следовательно, его можно выразить в виде

КО = Ке[гД/)е(4.1.30) где r{t) связан со входным сигналом s{t) и ИХ системы h{t) интегралом свертки

/•(/)- x)h{i-x)di. (4.1.31)

Эквивалентно выход системы, представленной в частотной области, равен

R{f)=s(f)H{f). (4.1.32)

С учетом (4.1.21) для и (4.1.28) для я(/) получаем результат

4/) = И/-/) + 5/*(-/-/.)]хИ/-) + /*(--4- (4.1.33)

Когда s{t) является узкополосным сигналом, а h{l) - импульсной характеристикой

узкополосной системы, то S,[f -f) = 0 и Я,(/-/ = 0 для / < О. Отсюда следует

5;(/-Л)я,*(-/-/,)0, 5,*(-/-/,)я,(/-/,) = 0. Следовательно, (4.1.33) упрощается:

M/)-i[4/-/>/(/-/J+5/*(-/-/J. *(-/-/.)>

(4.1.34)

.{f)-S,{f)H,{f) (4.1.35) ,

- спектр выхода эквивалентной низкочастотной системы, возбуждаемой эквивалентным низкочастотным сигналом. Ясно, что во временной области выход гД/) определяется сверткой л-Д/) и /?Д/), т.е.

гД/) Гх(т) Д/-т)Л. (4.1.36)

Комбинация (4.1.36) и (4.1.30) дает отношение между выходом полосовой сисгелн>1 r{l) II эквивалентными низкочастотными функциями s,{t) и h,{t). Это простое отношение позволяет нам не учитывать произвольные линейные преобразова1Н1я чгшюг, которые встречаются при модуляции сигнала с целые смещения его спектра в частотой области конкретного канала.

Следовательно, для математического удобства будем иметь дело только с передачей эквивалентных низкочастотных сигналов через эквивалентные низкочастотные каналы.

4.1.4. Представление полосовых случайных процессов

Представление полосовых сигналов в разд. 4.1.1 касается детерминированных сигналов. В этом разделе рассмотрим представление полосовых стационарных случайных процессов. В часгности, получим важные отношения между корреляционной функциеГ! и спектральной плотностью мощности полосового сигнала и корреляционной функцией и спешралыюй плотностью мощности эквивалентного низкочастотного сигнала.

Предположим, что /?(/) является реализацией стационарного а широком смысле случайного процесса N{t) с нулевым средним и спектральной плотное!ыо .мощност Ф,„,(/"). Примем, что спектральная плотность мониюсти равна нулю вне интервала частот. грЗппирующихся около частот + J[, где J[. - частоти несущей. Случайный процесс у\(/) называется узкопо.юсным по.чосовы.м случайны.! процессе, если ширина его полосы частот А/ намного меньше fj. С учетом этого условия реализация процесса n{t) может быть представлена в одной из трех форм, данных в разд. 4.1.1, а именно

«(/) = а(/) cos[2n fj + 0(/)], (4.1.37)

/?(/) = .v-(/)cos2n ->{/)sin2Tr fJ, (4.1.38)

/7(/) = Re[r(/)e- ], (4.1.39)

где a{t) - огибающая, a 0(/) - фаза вещественного сигнала, .v(/) и у{{) - квадратурные компоненты n{l), а - комплексная огибающая для n{l).

Рассмотрим более подробно форму, определяемую (4.1.38У Сначала заметим, что если N[t) имеет нулевое среднее, то случайные квадратурные компоненты X{t) и Y{t) должны также иметь нулевые средние. Далее, стационарность Л(/) подразумевает, чю автокорреляционные и взаимокорреляционные функции X[l) и Y{l) обладают следующими свойствами:

ф,Дт) = ф„.(т), (4.1.40)

Ф.,,() = -Ф...Д)- (4-1-41)

Покажем, что эти два свойства следуют из стационарности (/). Автокорреляционная функция ф„„(х) для N{t) равна

= E[N{i)N{i +х)\ = EX{t)cos7Tif:i - Y{l)sm2Ti Jj]

x[x{l + т)соз2я/Д/ + т)-7(/ + т)sin2я/Д/ + т)]} -

= ф,Дг)-соз2л fj-cos2n /Д/+ х)+ ф ,Дт)-32 fj-sm2n /Д/+т)--ф,(т)-зш271 fj-cos2n /Д/ + т)-ф,Дт)-соз2лХ/-${п2я /Д/ + т). Используя соотношения

В более общем случае достаточно потребовать, чтоб(,1 А 2 < (прп)