(4.1.43)

(4.1.44)

cos A cos в = T [cos(v4 - Б) + cod, A + В)], sin sin 5 = j[cos( Л - 5) - cos(+ л)], sin A cos В = j[sin( -B) + sin{A + В)] в (4.1.42), получаем результат

E[N{t)N{t + т)] - i[ф,,(х) + ф,,(т)]со527г/,т +

+ l[<jt)-<ifjt)\cos2nfpt + х) -

-т[фз:г(с) - Ф.v,•(f)]sin27l/.x-

- i [ф;.Д-с) + Ф,,(т)]sin2я /,(2/ + х).

Поскольку N{t) - стационарный процесс, то правая часть (4.1.44) не должна зависеть от t. Но это условие может быть выполнено только при условии выполнения (4.1.40) и (4.1.41). Как следствие, (4.1.44) сводится к

ifM = Ф.„(т)cos27t/,x-фДx)sin2я/,x. (4.1.45)

Заметим, что соотношение между автокорреляционной функцией ф„,(х) полосового процесса и корреляционной и взаимокорреляционной функциями ф„.(х) и ф„.(х)

квадратурных компонент имеет форму (4.1.38), которая выражает полосовой процесс через квадратурные компоненты.

Автокорреляционная функция эквивалентного случайного низкочастотного процесса

Z{t) = X{t)+jY{t) (4.1.46)

определяется как

Jx) = iE Z*{t)Z{t-¥x)

(4.1.47)

Подставив (4.1.46) в (4.1.47) и выполнив соответствующие операции, получаем

Ф.-Д) = [ф,,(х) + ф , (х) - УФ, Д х) + уф Д х)]. (4.1.48)

Теперь, если выполняются свойства (4.1.40) и (4.1.41), находим соотношение

Ф.-Д) = Ф.„() + Ж,(-)> (4.1.49)

которое выражает автокорреляционную функцию комплексной огибающей через автокорреляционную и взаимокорреляционную функцию квадратурных компонент. В заключение, используя результаты (4.1.49) и (4.1.45), имеем

ф,„Дх) = Ке[ф,Дх)е"]. (4.1.50)

Таким образом, автокорреляционная функция ф,„Дт) полосового случайного процесса Л(/) однозначно определяется автокорреляционной функцией ф-Дх) эквивалентного низкочастотного случайного процесса Z{t) и частоты несущей f. Спектральная плотность мощности Ф„,Д/) случайного процесса N{t) определяется преобразованием Фурье ф-Дх). Имеем

Ф"Д/)=ГЧФ----(Ь"1}""=[Ф-Д/-/ + Ф-Д-/-/ (4.1.51)

где Ф„(/) - спектральная плотность мощности эквивалентного низкочастотного процесса Z{t). Поскольку автокорреляционная функция Z{t) удовлетворяет условию ф.Дх) = фД-х), то следует, что Ф-,(/) является вещественной функцией частоты.

Свойства квадратурных компонент. Выше было показано, что взаимокорреляционная функция квадратурных компонент X{t) и Y{t) полосового стационарного случайного процесса N{t) удовлетворяет условию симметрии (4.1.41). Далее, любая взаимокорреляционная функция удовлетворяет условию

Ф..() = Ф..(-)- (4-1.52)

Из этих двух условий заключаем, что

Ф.,(х) = -ф,/-т). (4.1.53)

Это означает, что ф,„(т) является нечётной функцией т. Следовательно, ф.ДО) = 0 и,

значит, X{t) и Y{t) не коррелированы при т-0. Конечно, это не означает, что процессы X{t) и Y{t + x) не коррелированы для всех т, поскольку это бы означало, что ф,,(т) = О для

всех т. Если в самом деле ф,(т)=0 для всех т, то ф„(т) является вещественной, и спектральная плотность мощности Ф,,(/) удовлетворяет условию

Ф.Д/)-Ф.Д-/)» (4.1-54)

и наоборот. Это означает, что Ф„(/) симметрична относительно / = 0 (четная функция частоты). В частном случае, когда стационарный случайный процесс N{t) гауссовский, квадратурные компоненты X{t) и Y{( + х) совместно гауссовские. Более того, при т = О они статистически независимы, и, следовательно, их совместная плотность вероятности

p(x,J) = 5e+*")/-, (4.1.55)

где дисперсия определяется как сг" = ф„(0) = ф (О) = ф„„(0).

Представление белого шума. Белый шум является случайным процессом, который имеет постоянную спектральную плотность в неограниченном диапазоне частот. Этот вид шума не может быть выражен через узкополосные квадратурные компоненты вследствие широкополосности процесса.

В вопросах, связанных с демодуляцией узкополосных сигналов на фоне шумов, математически удобно представить аддитивный шум как белый и выразить его через квадратурные компоненты. Это можно выполнить, предполагая, что сигнал и шум на приёмной стороне прошли через идеальный полосовой фильтр, имеющий полосу пропускания более широкую, чем полоса сигнала. Такой фильтр может внести пренебрежимо малые искажения в сигнал, но он исключает частотные компоненты шума вне полосы пропускания фильтра.

Белый шум, прошедший через идеальный полосовой фильтр, называют полосовым белым шумом, и он имеет спектральную плотность вида, показанного на рис. 4.1.3. Полосовой белый шум можно представить в любой из форм, выражаемых формулами (4.1.37), (4.1.38) и (4.1.39). Спектральная плотность мощности и автокорреляционна>г функция эквивалентного белого низкочастотного шума равны соответственно

ф(/) = < ; ( (4.1.56)

, . sinnBx

Ф.() = о-• (4.1.57)

Предельная форма ф-,(т), когда полоса частот В<х>, выражается так:

ф,.(т) = 7о5(т). (4.1.58)

No/2 .

-fc о - fc

Рис. 4.1.3. Полосовой шум с равномерным спектром

Спектральная плотность мощности белого и полосового белого шума симметрична относительно / = О, так что фДт) - О для всех т. Следовательно,

Ф..(т) = Ф...() = Ф;,(-)- (4.1.59)

Это означает, что квадратурные компоненты X{t) и Y{t) не коррелированы при всех временных сдвигах т, а автокорреляционные функции Z{t), X{t) и Y{t) одинаковы.

4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

В этом разделе мы продемонстрируем, что сигналы имеют характеристики, которые похожи на векторы, и приведем векторное представление сигналов. Начнём с некоторых базовых определений и концепций для векторов.

4.2.1. Концепция векторного пространства

Вектор V в «-мерном пространстве характеризуется своими п компонентами

V, ... V,,

. Его можно также представить как линейную комбинацию единичных векторов

(4.2.1)

или базисных векторов е , \ <i<n, т.е.

где, по определению, единичный вектор имеет единичную длину, а v, является проекцией вектора v на единичный вектор е,.

Скачярное произведение двух «-мерных векторов v, -

21 12 -2.,

определяется как

(4.2.2)

Два вектора v, и v, ортогональны, если v, -v, =0. В более общем виде совокупность т векторов , 1 < А: < /и, ортогональна, если

v,-v=0 (4.2.3)

для всех 1 < i,j <т и. i Ф J .

Норма вектора v обозначается v и определяется -

(4.2.4)

Это просто длина вектора. Ансамбль т векторов называется ортонормированным, если все векторы ортогональны и каждый вектор имеет единичную норму. Совокупность т векторов называется линейно независимой, если ни один вектор не может быть представлен как линейная комбинация оставшихся векторов.

Два и-мерных вектора v, и удовлетворяют неравенству треугольника