V +v <v, ,i V. , (4.2.5)

a pauouciBO iiMCLMMccio. если v, и v-, имеют одпиакоиос iiaiipaii.iciiiic. т.о. v, - t/v,. r.ic б/ является 1ЮЛ0жителм1ым иетцествеины.м скаляром. Из иеравепснза трсуголыи1ка следует иеравеиство Коши-Шварца

V-V,

V, V,

(4.2.6)

с равенством, если \, =а\ . Квадрат нор.мы с>м.мы дву.ч векторов южиo Bi.ipa3ii iь чак:

= V

V. " +2v, V-,.

1-с:п1 у, и V-, орюгоиальпы, тогда V-v =0 и. с.юловатсльио.

- \- +

(4.2.7)

(4.2.8)

Это соогиошеиие Пифагора для дву.х ортогональных /7-мериых векторов. Паиомпим т а.исбры матриц, что линейное преобразование в /7-\iepnoM векторном пространстве Я14.1«стся матричным преобразованием ви.ца

V = Av , (4.2.9)

r.u матрица А преобразует вектор v и некоторыГ! вскюр v. В специальиом с.чучае. когда V /.v. т.е.

AV-A.V, (4.2.10)

где А. - некоторый (положительный или отрицательный) скаляр, вектор v называется собс1венны.м векюром преобрмования, а X является соотисгствуютцим собствсп1и,1м значением.

В конце расслютрим процедуру FpaMa-IIlNHMTa для образования ансамбля ортоиор%гирова1Н1ЫХ векторов из ряда -Mcpiibix векторов v,, \<i<ni. Мы Начинаем

выбором произвольного вектора ряда, скажем v, . Путе.м нор.мнровки его д.нн1ы получаем

первый вектор ансамбля

U, (4.2.11)

Затем дюжем выбрать v., и получить проекцию v, на и,. Образуем вскюр

"2 = -(v,-Uiju,. (4.2.12)

Далее нормируем вектор и, к единичной длине. Это даёт

U , =

(4.2.13)-

Процедура продолжается выбором вектора v, и образованием проекции v.. на u-,. Таким образом получаем

= 3 -(v.i - и, JU; -(v, - и, )u,. (;4.2.14)

Затем образуется ортогональный вектор и,:

(4.2.15)

U- =

Продолжая эту процедуру, можем образовать ансамбль из 77, ортонормированных векторов, где в общем щ < п .Если т <п,то /7, < /7?, а если т>п, то n<n.

Можно показать, что неравенство (4.3.6) пере.чоднт а равенство не только при положи1СЛЫ1ых. но и при 01рнцательны.х а(прп")

4.2.2. Концепция iipocrpanci па cm иа.юи

Клк н c.i>4iic зскюрон. мы можем iipoiicciii пара 1.гс.11>11ое расс.могретю ряда cm па.юн.

опрелс.юипы.ч па искоюро.м inncpna-ie

. Скалярное нрончнсдсиис дну.ч. ь ооню.м

смучас комплексны.ч сигналов .y,(/) и .\-,(/) обозначается (.\-,(/),.\,(/)) и определяется как

(.v,(/),.v.(/)) = £ x{l)x:{l)dl. (4.2.16)

Chi налы ортогона.1ьны. если их ска.1яр110с нромзвсдспнс равно нулю. Пор.ма ciHiia.ia онрсдс-1яегся кис:

(4.2.17)

Лнсамб;н, т cипIaJЮв называется ортонормированным, если все сигналы попарно оргоюнальпы, а их 1юр.\1ы равны 1. Cin налы линейно независимы, если ни один сигнал ис выражается как jHnicrnuw комбинация осгальны.ч cin налов. Перавенсгво трсугольншса для лн>х cniiiiLioB выражаегся подобно (4.2.5):

(4.2.18)

(4.2.19)

л-;(/) + л-,(/) < .y,l/) + .v,(/) а неравенство Коши-Шварца выражается подобно (4.2.6):

"л-,(/)л-;(/) < Гл-Х/) \t\xXi)\cn

причём равенство имеет место, если х-,{() = ах{t), где а произвольное комплексное число.

4.2.3. Ортогопальпое разложспие сигналов

В огом разделе мы ознакомимся с векторным представлыем сигналов и чакнм образом продемонстрируем эквивалентность между сигналами и их векторными представлениями.

Предположим, что л(/) является детерминированным вещественным сигналом с oгpaничeнюй энергией

, = Г Ui{)]-clr<. (4.2.20)

.Далее, предположим, что существует ансамбль функций {./,Д/), n = ],2,...,N коюрый ортонормирован в том смысле, что

[1 (ш = /7).

Мы можем аппроксимировать сигнал .v(/) при помощи взвешенной линейной ко.мбинации этих функций, т.е.

ДО = ./.(/), (4.2.22)

s = l

1де , \<к<К- коэффициенты в аппроксимации s{(). Ошибка аппроксимации

e{l) = s{t)-s{l). (4.2.23)

Выберем коэффициенты {л} так, чтобы минимизировать энергию огпибки лифокси.мации. Имеем

f„{i)fSi)di =

(4.2.21)

Автор в дальнейшем отождествляет интервал и отрезок (прп)

s{t)-s{t)]-dt =

(4.2.24)

Оптимальные коэффициенты j,.} в представлении 5(/) рядом можно найти путём

дифференцирования (4.2.24) по каждому из коэффициентов и приравнять первые производные нулю. В качестве альтернативы можем использовать хорошо известный результат из теории оценок, основанный на критерии минимума среднего квадрата ошибки оценивания, который гласит, что минимум 16 по 5 достигается тогда, когда ошибка ортогональна к каждой из функций ряда, т.е.

s{t)-ts,f,{t)

(4.2.25)

/,(/)с = 0, п = \.2,...,К.

Поскольку функции {/,(/)} ортонормированы, из 4.2.25 следует

\ = Г п-],2,...,К. (4.2.26)

•-со

Таким образом, коэффициенты получаются как проекции сигнала s{t) на каждую из функций {/,(/)}. Как следствие, s{t) является проекцией s{t) в К-иерном пространстве сигналов, заданном функциями {/,(/)}. Иногда говорят, что пространство натянуто на функции /,(/)} . Минимальное значение среднего квадрата ошибки аппроксимации равно

= f eit)s{t)dt=[ [sit)fdt-[ tfkU)s{t)dt=iS~t4. (4.2.27)

и OHO не отрицательно по определению.

Когда средний квадрат ошибки - О, то

При условии, что (,„„ = о, сигнал s{t) можно выразить так:

(4.2.28)

(4.2.29)

Равенство s(t) правой части (4.2.20) понимается в том смысле, что ошибка представления имеет нулевую энергию.

Если каждый сигнал с ограниченной энергией можно представить рядом (4.2.29) при

с,,,,, = О, совокупность ортонормированных функций {/,(0} называют полной.

Пример 4.2.1. Тригонометрический ряд Фурье. Сигнал s{t) с ограниченной энергией, который равен нулю везде, кроме области 0<t <Т. и имеет ограниченное число разрывов на этом интервале, может быть представлен рядом Фурье:

2nkt . . 2nkt

КО=5:

COS-

+6, sin-

(4.2.30)

где коэффициенты которые минимизируют средний квадрат ошибки",

определяются выражениями

Для непрерывных сигналов (как в примере 4.3.1) это возможно, только если К не ограничено. Только тогда ортонормированный ансамбль является полным, а представление (4.2.29) называется обобщённым рядом Фурье (прп).

" При конечном числе членов ряда (прп).