Ясно, что сигналы AM являются одномерными {N = 1), и, следовательно, их можно представить в общем виде так:

s„.(t) = sjit), (4.3.4)

где fit) определен как полосовой сигнал с единичной энергией:

/W = ,-Wcos27t , .. (4.3.5)

s,„ = A„,, m = l,2,...,M. (4.3.6)

На рис. 4.3.1 даны соответствующие пространственные диаграммы сигналов для М = 2, М = 4, М = 8. Цифровая AM называется также модуляцией с амплитудным сдвигом (MAC, ASK).

Отображение или задание к информационных бит М -2" возможными амплитудами сигнала можно сделать различными способами. Наилучшее задание-это такое, при котором соседние амплитуды сигналов соответствуют информационным двоичным блокам, различающимся в одном разряде, как показано на рис. 4.3.1. Это отображение называется кодом Грея. Он важен при демодуляции сигнала, поскольку наиболее вероятные ошибки вызывает ошибочный выбор амплитуды, соседней по отношению к той. которая действительно передана. В этом случае, в к -битовой информационной последовательности возникает ошибка только в одном бите.

Заметим, что евклидово расстояние между какой-либо парой сигнальных точек равно

d:::!=(s.,.-s„f =%-A„\ = d\m-n. (4.3.7)

Следовательно, расстояние между парой соседних сигнальных точек, т.е. минимальное значение евклидова расстояния, равно -

dl=d. (4.3.8)

Модулированные сигналы AM, представленные (4.3.1), являются двухполосными (ДП) сигналами и требуют в два раза большую полосу частот, чем низкочастотный передаваемый сигнал. В качестве альтернативы можем использовать однополосную (одной боковой полосы, ОБП) AM, которую можно представить (нижнюю или верхнюю полосу) так:

s„,[t) = Re{A„,[g{t)±Mt)] }, т = 1,2,..., М, (4.3.9)

где g{t) - преобразование Гильберта от g{t). Таким образом, полоса частот ОБП равна половине полосы частот, занимаемой сигналом ДП.

Рассмотренный сигнал цифровой AM можно интерпретировать как передачу по эквивалентному каналу без несущей. В этом случае сигнал AM можно представить в виде

„,W = 4„gW, т = \,2,...,М. (4.3.10)

Его называют базовьш (низкочастотным) или видеосигналом. Для примера на рис. 4.3.2(a) показан четырехуровневый базовый сигнал AM.

Модулированная по несущей версия этого сигнала дана на рис. 4.3.2 (Ь). В частном случае М = 2 рассматриваемая двоичная AM имеет специальное свойство:

s\it) = -S2it).

Следовательно, эти два сигнала имеют одинаковую энергию и коэффициент их взаимной корреляции равен -1. Такие сигналы называют противоположньши.

Сигналы фазовой модуляции. При цифровой фазовой (нелинейной) модуляции М сигналов можно представить в виде

sSt) = Reg(r)e"("- " c-J = g{t)co{2ii+ г<"-)1 g(/)coscos27T/./-g(/) %m=sm2nfj.

(4.3.11)

OT=1,2,...,M, 0<r<r, где g{t) определяет огибающую сигнала, a =2тт:(ш-1)/М, m = l,2,...,M, определяет М возможных значений фазы несущей, которая переносит передаваемую информацию. Цифровую фазовую модуляцию (ФМ) называют также модуляцией с фазовым сдвигом (МФС, PSK).

Заметим, что рассматриваемые формы сигналов имеют одинаковую энергию, т.е.

i§= (sliddti г g-{t)dt = i%. (4.5.12)

Далее, ФМ сигналы можно представить как линейную комбинацию двух ортонормированных сигналов /,(/) и /,(/), т.е.

.,W = 5,„,/,W + W.W, (4.3.13)

Значение сигнала

(«)

Данные: И

47"

10 00 01 II 00

67"

Рис. 4.3.2. Базовый AM сигнал (видеосигнал) (а) и полосовой AM сигнал (Ь)

Ul)-fgidcos2Kfj, f2it)--g{t)sm2nfj.

а двухмерные векторы s„ =

определяются так:

1 2п{т-\) . 2я(/>7-1)"

от=1,2,...,М.

(4.3.14) (4.3.15)

(4.3.16)

Пространственные диаграммы ФМ сигналов для М = 2,4и8 даны на рис. 4.3.3.

ЛУ=2

Л/=4

Л-/=8

Рис. 4.3.3. Пространственная диаграмма для ФМ сигналов

Видим, что случаю М = 2 соответствуют одномерные противоположные сигначы. которые идентичны рассмотренным двоичным сигналам AM.

Как и в случае AM, отображение или задание к информационных бит в М = 2* возможных значений фаз можно сделать различными путями. Предпочтительное отображение - коды Грея, так что наиболее вероятные ошибки, вызываемые шумами, будут возникать в одном бите к -битового символа.

Евклидово расстояние между точками ФМ сигналов равно

s... -s.

1-cos(/w-m)

(4.3.17)

Минимальное расстояние по Евклиду соответствует случаю, когда т-« = 1, т.е. соседним значениям фаз. При этом

1 - cos-

(4.3.18)

Квадратурная амплитудная модуляция. Хорошую частотную эффективность можно получить не только при АМ/ОБП, но и путём одновременной передачи двух отдельных i-битовых информационных блоков на двух несущих, находящихся в квадратуре (со52я/г и sin2n/z). Такая техника модуляции названа квадратурной AM или КАМ (QAM), и соответствующие сигналы можно выразить так:

J0 = Re[(4,..-7ЧJg{r)e•] = 4,,/)cos2n/--4..g(r)sin2я/л .

т=\,2,...,М, 0<t<T, где и Д,„. - информационные амплитуды сигнала для квадратурных несущих, а g{t) -форма импульса.

.-Альтернативно сигнал КАМ можно выразить так:

i„,(/) = Re[K„e"g(/)e"] = K„gWcos(2Tt/j+9„,), (4.3.20)

где = + и Э„, = atcig[Ag,JА„). Из этой формы представления видно, что сигнал

К.ЛМ можно рассматривать как комбинацию амплитудной и фазовой модуляции.

Действительно, мы можем образовать определенную комбинацию М, -уровневой AM и М,-позиционной ФМ, чтобы сконструировать комбинированное АМ-МФ сигнальное созвездие, содержащее М = М, Л/, точек пространства сигналов. Если М, = 2" и Л/, = 2", то сигнальное созвездие комбинированной АМ-ФМ сводится к мгновенной передаче