4.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ ЦИФРОВОЙ МОДУЛЯЦИИ

В большинстве систем цифровой связи имеющаяся в распоряжении полоса частот ограничена. Как следствие, проектировщик системы должен рассмотреть, как ограничение полосы частот канала влияет на выбор техники модуляции, используемой при передаче информации. Из этих соображений для нас важно определить спектральные характеристики сигналов цифровой модуляции, рассмотренных в разд. 4.3.

Поскольку информационная последовательность случайная, сигнал цифровой модуляции является случайным процессом. Мы интересуемся спектральной плотностью мощности такого процесса. Исходя из спектральной плотности мощности, мы може.м определить полосу частот канала, необходимую для передачи информационного сигнала. Сначала определим спектральные характеристики класса сигналов с линейной модуляцией. Затем рассмотрим нелинейные ЧМНФ, МНФ и базовый модулирующий сигнал с памятью.

4.4.1. Спектр мощности сигналов линейной модуляции

Начиная с формы сигнала

sit) = Re [ф) о-"],

которая отображает полосовой сигнал s{t) через эквивалентный низкочастотный и(/), можем выразить автокорреляционную функцию s{t) так:

ф,Дт) = Ке[ф,,{т)е], (4.4.1)

где ф,(г) - автокорреляционная функция низкочастотного эквивалента о(?).

Преобразование Фурье (4.4.1) даёт желаемое выражение для спектральной плотности мощности Ф.,,(/) в виде

Ф.(/) = 1[фЛ/ - л) + f-fc)l (4-4.2)

где Фуу(/)-спектральная плотность мощности \j{t). Достаточно определить автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощности для эквивалентного низкочастотного сигнала V)(t).

Сначала рассмотрим методы линейной цифровой модуляции, для которых и(г) можно представить в общем виде так:

у{()=Т.Ы(-пТ), (4.4.3)

Л=-со

где скорость передачи канальных символов равна \/Т= R/k симв./с, а {/„} представляет последовательность символов, которая возникает при отображении А:-битовых блоков в соответствующие сигнальные точки, выбираемые по соответствующей диаграмме пространства сигналов. Отметим, что в AM последовательность {/„} вещественна и соответствует значениям амплитуд передаваемого сигнала, но в ФМ, КАМ и комбинированной АМ-ФМ последовательность {/„} комплексная, так как точка сигналов

имеет двухмерное представление. Автокорреляционная функция случайного процесса u(f) равна

(4.4.4)

Предположим, что последовательность информационных символов {/„} стационарна в широком смысле со средним р,. и автокорреляционной функцией

ф,М = и[/:/ ]. (4.4.5)

Тогда (4.4.4) можно выразить так:

00 00

4-00 ltl=-CO

(4.4.6)

= Y,)J]git-nT)g{t + x-nT-mT).

Ш--ОЭ /7=-00

Вторая сумма в (4.4.6), именно

Y,g{t-nT)g{t + x-nT-mT),

- периодическая функция по переменной t с периодом Т. Следовательно, ф, (/ + т; /) -также периодическая функция по переменной / с периодом Т. Это означает, что

ф(/ + Г + т: / + г) = ф,„(/ + т; /). . (4.4.7)

Кроме того, среднее значение и(/), которое равно

E[v{t)] = iiY.si(-nT), (4.4.8)

- периодическая функция по переменной / с периодом Г. Следовательно, и(/) является случайным процессом, имеющим периодические средние значения и автокорреляционную функцию. Такой процесс называется циклостационарньш процессом или периодически cmaiiuonapubiM процессом в широком смысле, как описано в разд. 2.2.6.

Чтобы рассчитать спектральную плотность мощности циклостационарного процесса

зависимость Фии(/+с;/) от переменной t должна быть исключена. Это можно сделать просто путём усреднения Фии(/ + т; по t по одному периоду Г. Таким образом.

(4.4.9)

Мы интерпретируем интеграл в (4.4.9) вместе с суммой по п как временную автокорреляционную функцию g{t) и определим её как

Ф..«()= Г/Wя( + f)

Cлeдoвaтeльнo, (4.4.9) можно выразить так:

ФооМ=тЕф»ф>-«7)-

(4.4.10)

(4.4.11)

Преобразование Фурье (4.4.11) даёт (среднюю) спектральную плотность мощности и(/) в виде

Фои(/)=7И/)ГфД/).

(4.4.12)

где (j{/) преобразованное Фурье для g(/),a Ф„(/) определяет спектральную плотность

(4.4.13)

мощности информационной последовательности, определяемую как

Ф„(/)=1;Ф„Ые-"""-.

т-со

Результат (4.4.12) иллюстрирует зависимость спектральной плотности мощности и(/) от спектральных характеристик импульса g{t) и информационной последовательности

/,,. Это означает, что спектральными характеристиками и(/) можно управлять через огибающую импульса g{t) и корреляционные характеристики информационной последовательности.

В то время как зависимость Фии(/) от легко понять в (4.4.12), влияние

корреляционных свойств информационной последовательности более тонкое. Прежде всего заметим, что для произвольной автокорреляционной функции ф„(от)

соответствующая спектральная плотность мощности Ф„(/) - периодическая функция по

частоте с периодом 1/Г. Действительно выражение (4.4.13), определяющее спектр Ф,,(/)

по ф,Д«/), является комплексным рядом Фурье с коэффициентами Фурье {ф„(/и). Как следствие, автокорреляционная последовательность ф„(т) определяется так:

ф„(/) = т[ф„{f)odf. (4.4.14)

Во-вторых, рассмотрим случай, когда информационные символы в последовательности вещественные и взаимно некоррелированные. В этом случае автокорреляционную функцию ф„(т) можно выразить так:

а+ц;, т = 0,

где ст" означает дисперсию информационных символов. Если (4.4.15) подставить в (4.4.13), получим

Ф..(/) = <+. (4-4.16)

ш--ао

С)мма в (4.4.16) - периодическая функция частоты с периодом 1/7". Её можно рассмотреть как комплексный ряд Фурье для периодической последовательности 5-импульсов с периодом 1/Г. Следовательно, (4.4.16) можно также выразить в виде

ф„(»;) =

(4.4.15)

ф„(/)=-:-+I;s(/-f,

(4.4.17)

Подстановка (4.4.17) в (4.4.12) определяет спектральную плотность мощности и(/) для случая, когда информационные символы не коррелированы. Получаем

(4.4.18)

Выражение (4.4.18) для спектральной плотности мощности специально разделено на два слагаемых, чтобы подчеркнуть два различных вида спектральных компонент. Первое определяет непрерывный спектр, и его огибающая зависит только от спектральной .чарактеристики сигнального импульса g{t). Второе слагаемое состоит из дискретных частотных компонент, появляющихся через интервал 1/7". Каадая такая компонента имеет

мощность, пропорциональную с{/) при / = т/Т. Заметим, что дискретные.частотные