Заметим, что, когда р = линейчатый спектр исчезает и ф(/) определяется так:

ф(/)41«(/)

NRZI-сигнал характеризуется матрицей переходных вероятностей

(4.4.64)

(4.4.65)

Заметим, что в этом случае Р" -Р для всех п>1. Следовательно, частная форма спектра плотности мощности, даваемая (4.4.62), хорошо подходит к модуляции по этому формату. Следовательно, спектральная плотность мощности NRZI-сигнала идентична спектру NRZ-сигнала.

Модуляция с задержкой имеет матрицу переходных вероятностей

О i О

Т Т о о

(4.4.66)

и стационарные вероятности состояний p,=j для i = 1, 2, 3, 4. Степени Р можно получить путём использования соотношения

Рр = -р, (4.4.67)

где р - матрица корреляции сигнала с элементами

Pj = T

(4.4.69)

s,itmt)dt. (4.4.68)

а четыре сигнала [s,{t), i - 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 4.3.15. Легко видеть, что

10 0 -Г

0 1-10

0-110

-10 0 1

Следовательно, степени Р можно получить из соотношения

Pp-iPp, к>\. (4.4.70)

Используя (4.4.66), (4.4.69) и (4.4.70), в (4.4.57) можно найти спектральную плотность мощности при модуляции с задержкой. Её можно выразить в форме

ч</)=

23 - 2 COS v/ - 22 COS 2 -12 COS 3v/ +

(4.4.71)

2ч;(17+8соз8ч;)

+ 5 cos4vi/+12 cosSv}/ + 2 cos6vi/ - 8 cos7vj/ + 2 cosSvi; где vj/ = л / Г.

Спектр этих базовых модулирующих сигналов показан на рис. 4.4.11.

Видно, что спектр сигналов NRZ и NRZI имеет максимум при / = О. Модуляция с

задержкой имеет более узкий спектр и относительно меньший уровень для нулевых частот. Занимаемая ею полоса частот существенно уже, чем у сигнала NRZ. Эти две характеристики делают модуляцию с задержкой привлекательным выбором для каналов, которые не пропускают постоянную составляющую, таких, как средства магнитной записи.

Модуляция с задержкой (код Миллера)

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 Нормированная частота/7

1,8 2,0

Рис. 4.4.11. Односторонняя спектральная плотность мощности для

базовых сигналов кода Миллера (модуляция с задержкой) и NRZ/NRZI [Hecht и Gvida (1969); © 1969 ieee]

4.5. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Характеристики сигналов и систем, данные в этой главе, очень полезны при конструировании техники оптимальной модуляции-демодуляции и кодирования-декодирования для различных моделей канала. В частности, методы цифровой модуляции, изложенные в этой главе, широко используются в цифровой связи. Следующая глава посвящена технике оптимальной демодуляции для таких сигналов и их характеристикам качества при аддитивном белом гауссовском шуме в канале. Общее освещение характеристик сигналов имеется в книге Френкса (1969).

Особенно важными при проектировании цифровых систем связи являются спектральные характеристики цифровых модулированных сигналов, которые представлены в этой главе с определённой глубиной. Из этой техники модуляции одна из наиболее важных - МНФ с учётом того, что она эффективно использует полосу частот. Из этих соображений она широко изучалась многими исследователями, и в технической литературе появилось большое число публикаций по этой теме. Наиболее исчерпывающие обсуждения МНФ, включая характеристики качества и спектральные характеристики, можно найти в книге Андерсена и др. (1986). В дополнение к этому материалу учебник Сандберга (1986) представляет базовые концепции и обзор характеристик качества различной техники МНФ. Эта публикация также содержит около 100 ссылок на опубликованные статьи по этой теме. Имеется большое число ссылок, связанных со спектральными характеристиками ЧМНФ и МНФ. Для начала поиска упомянем, что ММС была изобретена Дольцем и Хелдом в 1961. Ранние работы по спектральной плотности мощности для ЧМНФ и МНФ бьыи сделаны Беннетом и Райсом (1963J, Андерсоном и Сальцем (1965) и Беннетом и Давеем (1965). Книга Дакки и др.(1968) также содержит трактовку спектральных характеристик ЧМНФ. Большинство из недавних новых работ имеется в публикации Сандберга (1986). Мы должны также процитировать специальные исследования по частотной эффективности модуляции и кодирования, опубликованные IEEE Transactions on Communication (март 1981). Там имеются несколько статей по спектральным характеристикам и характеристикам качества МНФ.

Обобщение ММС на много амплитуд было исследовано Вебером и др. (1978). Комбинация многих амплитуд с общей системой МНФ была предложена Маллиганом (1988), который исследовал их спектральные характеристики и их характеристики качества (вероятности ошибки) в гауссовском шуме при отсутствии и наличии кодирования.

ЗАДАЧИ

4.1. Докажите следующие свойства преобразования Гильберта:

a) Если x[t) = х{-1), тогда x[t) = -х{-1);

b) Если x[t) - -х[- /), тогда jc(/) =x[-t); .

c) Если х(/) = coscoq/ , тогда x[t) = sincoQ?;

d) Если x[t) sinwo. тогда x[t) = -coscoq ; e)i(0 = -x(/);

f) rx\l)dt= Гх(/)Л;

J-оэ

g) x{t)dtQ.

4.2. Если X{t) - стационарный случайный процесс с автокорреляционной функцией ф.,{т) = Е X{l)X{t + т) и спектральной плотностью мощности Фсх(/). тогда покажите, что фг(т) = ф„(т), Ф.»{т) = -<1...{т) ИФ(/) = Ф,,(/].

4.3. Предположим, что Л{/) - узкополосный стационарный случайньн1 процесс с нулевым средним, представленный (4.1.37), (4.1.38) или (4.1.39). Автокорреляционная функция эквивалентного низкочастотного процесса Z[t) - X[t) + jY[t) определяется так:

Ф.Дх) = 1ф*(/)2(/-ьт).

а) Покажите, что

2(г)2(/4-т)

= 0.

Ь) Предположим, что ф,г(:) = Nq3[i) , и пусть

К= fz(t)dt. Jo

Определите e{v и e{vv = Eif.

4.4. Определите автокорреляционную функцшо случайного процесса

= Лз1п(2л/;/ + 9),

где /с - константа, а 9 - равномерно распределённая случайная фаза, т.е. Д9) = 1/2я, О < 9 < 2л .

4.5. Докажите, что 5,(/) - в общем случае комплексный сигнал, и определите условия, когда он веществен. Предположите, что - вещественный полосовой сигнал.

4.6. Предположите, что di) или вещественный, или комплексный сигнал, который представлен

приближённо линейной комбинацией ортогональных функций fjt)

,т.е.

0 {тФп),

1 (т = п).