ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИЁМНИКИ ДЛЯ КАНАЛА С АДДИТИВНЫМ БЕЛЫМ ГАУССОВСКИМ ШУМОМ

в гл. 4 мы рассмотрели различные методы модуляции, которые используются для передачи цифровой информации через канал связи. Как мы видели, модулятор на передаче формирует способ отображения цифровой последовательности в форме канального сигнала.

Эта глава имеет дело с проектированием (синтезом) и характеристиками качества оптимальных приёмников при различных методах модуляции, когда канал искажает передаваемый сигнал посредством аддитивного гауссовского шума. В разд. 5.1 сначала рассматриваем сигнал модуляции без памяти, затем сигнал модуляции с памятью. В разд. 5.2 оценим вероятность ошибки при различных методах модуляции. В разд. 5.3 рассмотрим оптимальный приёмник для сигналов МНФ и его характеристики качества. В разд. 5.4 обсудим оптимальный приёмник, когда фаза несущей сигнала неизвестна на приёмной стороне и она рассматривается как случайная величина. Наконец, в разд. 5.5 обсудим использование регенеративных повторителей для передачи сигналов и вьшолним анализ ресурсов линии связи с радиоканалом.

5.1. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЁМНИК ДЛЯ СИГНАЛОВ,

ПОДВЕРЖЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЮ АДДИТИВНОГО БЕЛОГО ГАУССОВСКОГО ШУМА

Начнём с разработки математической модели для сигнала на входе приёмника. Предположим, что передатчик передает цифровую информацию посредством М сигналов

)it), т = 1,2...,М .

Каждый сигнал передается на символьном интервале длительностью Т. Для конкретности рассмотрим передачу информации на символьном интервале 0</<Г. Предполагается, что канал искажает сигнал посредстйом аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ), как показано на рис. 5.1.1.

Таким образом, принимаемый сигнал на интервале О < < Г можно выразить

Канал

Принимаемый сигнал

<0=.,(0+"(0

Передаваемый сигнал

Рис. 5.1.1. Модель принимаемого сигнала, прошедшего через канал с АБГШ

так:

rit) = s„{t) + rit), 0<t<T, (5.1.1)

и(/) означает реализацию АБГШ со спектральной плотностью мощности

Обычно в приёмнике цифровой связи выделяют демодулятор (первую решающую схему) и декодер (вторую решающую схему). Здесь под приёмником автор подразумевает только первую решающую схему, и целесообразность её деления на демодулятор и детектор представляется спорной (прп).

Ф„„[/) = -т Вт/Гц. Основываясь на наблюдении r{t) на сигнальном интервале, мы желаем найти приёмник, который оптимален в смысле минимизации средней вероятности ошибки.

Удобно разделить приёмник на две части: демодулятор сигнала и детектор-как показано на рис. 5.1.2. Функция демодулятора сигнала заключается в превращении сигнала

г(/) в iV-мерный вектор г = г, г, ... г, , где АГ - размерность переданного сигнала. Задача детектора - решить, основываясь на векторе г, какой из М возможных сигналов был передан.

Рис. 5.1.2. Конфигурация приёмника

В следующих двух разделах описаны две реализации демодулятора сигнала. Одна основана на использовании корреляторов, вторая-на применении согласованных фильтров. Оптимальный детектор, который следует за демодулятором, проектируется так, чтобы минимизировать среднюю вероятность ошибки.

5.1.1. Корреляционный демодулятор

В этом разделе мы опишем корреляционный демодулятор, который разлагает принимаемый сигнал и шум на Л-мерные векторы. Другими словами, сигнал и шум разлагаются в линейную взвешенную сумму ортонормированных базисных функций {/„{()} Считается, что N базисных функций {f„{t)} покрывают пространство сигналов

так, что каждый из возможных переданных сигналов из ансамбля \<т< может

быть представлен как взвешенная линейная комбинация {/,(/)} Для шума функции не покрывают всё его пространство. Однако, как мы увидим ниже, компоненты шума, которые попадают вне пространства сигналов, не влияют на детектирование сигнала.

Предположим, что принимаемый сигнал r{t) прошел через параллельный блок из N взаимных корреляторов, которые вычисляют его проекции на N базисных функций {f„{t)}, как показано на рис. 5.1.3.

Эти проекции равны

lr{t)f,{t)dl = l[sSt) + ri{t)]f,{t)dt, *=-s«A+«i -t-1,2,...,/V,

s„,k = ls,„{t)fkU)dt, kl,2,...,M,

nk = lrit)f,{t)dt, k = \,2,...,N. Сигнал теперь представлен вектором s,„ с компонентами л:,,,, k~\,2,...,N. Их

величины зависят от того, какой из М сигналов был передан. Компоненты {и являются случайными величинами, возникшими из-за присутствия аддитивного шума.

(5.1.2)

(5.1.3)

/,(0

Принимаемый сигнал

К де гектару

Отсчёт при / - Т

Рнс. 5.1.3. Демодулятор по корреляционной схеме

Действительно, принимаемый сигнал r{t) на интервале О < / < Г можно выразить так: r{t) = Ys,J,{t) + YnJ,{t) + n\t) = YrJ,{t) + nil). (5.1.4) . .

Слагаемое и(/), определённое как

n{t) = n{t)-YnMt)< (5.1.5)

является случайным гауссовским процессом с нулевым средним, который представляет разницу между действительным шумовым процессом nt) и той его частью, которая

соответствует проекции n{t) на базисные функции {/(О}. Как увидим ниже, n{t) не

влияет на качество решения о переданном сигнале. Следовательно, решение можно сделать, основываясь на выходах корреляторов г=з„,+щ, к = \,2,N.

Поскольку сигналы {i,„()} детерминированы, то сигнальные компоненты s,i.

детерминированы. Компоненты шума гауссовские, их средние значения равны

E(n,)=lE[ri{t)]f,{t)dt = 0

(5.1.6)

(5.1.7)

для всех п. Их ковариации (в том числе дисперсии) равны

=i С {5( - т)/Ж.Шат IN, =4 ад,..

где 5,,, = 1, когда т = к , и равно нулю, если это условие не выполняется. Следовательно.

шумовых компонент jw - некоррелированные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковой дисперсией су] = Ло.

Из вышеизложенного следует, что выходы корреляторов {г}, определяемые т-м переданным сигналом, являются гауссовскими случайными величинами со средними

E(rk)-E(s,„+n,) = s,, (5.1.8) -

и одинаковыми дисперсиями