yiT)=(s{x)hiT-T)ch+[niT)h{T-x)dx = yST) + y„{T), (5.1.19)

где х,(Г) представляет сигнальную компоненту, а у„{Т) - шумовую компоненту. Задача сводится к выбору импульсной характеристики фильтра, который максимизирует на выходе отношение сигнал / шум (ОСШ), определяемое так:

осш„ =

(5.1.20)

Знаменатель в (5.1.20) определяет дисперсию шумовой компоненты на выходе фильтра. Определим Е у1{Т) , т.е. дисперсию выходного шума. Имеем (

о Jo

г

У(Т)

(5.1.21)

E[rix)iit)\h{T-x)h{T-t)dtdx =

= N, [ { 5(/ - т) Mr - т) ЛТ-t) dtdx = \N, lh\T - x)dt.

Заметим, что эта дисперсия зависит от спектральной плотности шума на входе и энергии импульсной характеристики h{t). Подставив уДг) и Е уЦт) в (5.1.20), получим для ОСШ на выходе фильтра выражение

ОСШо =

x)hiT-x)dx

}ixHT-x)dx

(5.1.22)

\N,iP-{T-t)dt \N,l}i-{T-t)dt

Так как знаменатель в ОСШ зависит от энергии h{t), максимум ОСШ по ft) можно получить максимизацией числителя в предположении, что знаменатель фиксирован. Максимизация числителя выполняется легко использованием неравенства Коши-Шварца, которое в общем гласит, что если g{t) и g-,{t) - сигналы с ограниченной энергией, то

gi{t)g2{t)dt

<1 g{{t)dt

;it)dt

(5.1.23)

с равенством, когда gt) = Cg2{t), С - произвольная константа. Если положим g,(/) = h{t) и gib) = t), то ясно, что ОСШ максимизируется, когда ft) = Cs{T -1), т.е. h{t) согласовано с сигналом s{t). Константа С~ не входит в ОСШ, так как она одновременно присутствует в числителе и знаменателе. Выходное (максимальное) ОСШ, получаемое при помощи согласованного фильтра, равно

s-{t)dt2dlN.

(5.1.24)

Заметим, что выходное ОСШ у согласованного фильтра зависит только от энергии сигнала .$(/), но не от детальных характеристик i). Это другое интересное свойство согласованного фильтра.

Интерпретация согласоваиного фильтра в частотной области. Согласованный фильтр имеет интересную интерпретацию в частотной области. Поскольку h{t) = s{T~t), преобразование Фурье такого сигнала

я(/)= js{T-t)e-dt =

5(т)е--"х

е-- = 5*(/)е". (5.1.25)

Видим, что согласованный фильтр имеет частотную характеристику, которая комплексно сопряжена с частотной характеристикой сигнала, и множитель е"",

который определяет задержку сигнала на Г. Другими словами, я(/)= так что

амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра идентична амплитудно-частотной характеристике сигнала. С другой стороны, фазовая характеристика я(/)

противоположна по отношению к фазочастотной характеристике сигнала s[f).

Если сигнал со спектром s{f) проходит через согласованный фильтр, то отклик

фильтра на этот сигнал имеет спектр у(/)=5(/) е". Следовательно, сигнальная составляющая на выходе фильтра

в точке г = Т имеем

yXT)=[Js(ffdf(s{t)dt = 6, (5.1.27)

причём последний шаг преобразования следует из соотношения Парсеваля. Шум на выходе фильтра имеет спектральную плотность мощности

Фо(/) = тя(/)о. (5.1.28)

Следовательно, суммарная мощность шума на выходе согласованного фильтра

Фо(/)# = 1 Ло [„Hff df =\N, fJ5(/ df Ш,.

Выходное ОСШ равно отношению мощности сигнала

P = yiT)iF к мощности шума Р„. Следовательно,

ОСШ„=-г =

Р.. к

(5.1.29) (5.1.30)

(5.1.31)

что совпадает с результатом (5.1.24).

Пример 5.1.2. Рассмотрим М = 4 биортогональных сигналов для передачи информации по каналу с АБГШ. Два сигнала из этого ансамбля с положительной полярностью показаны на рис. 5.1.8, д. Считается, что шум имеет нулевое среднее и спектральную плотность мощности тЛо. Определим базисные функции для этого ансамбля сигналов, импульсную характеристику согласованного фильтра в качестве демодулятора и выходной сигнал согласованного фильтра-демодулятора, когда передан сигнал 5,(г).

Ансамбль из М = 4 биортогональных сигналов имеет размерность N = 2. Следовательно, требуются две базисные функции для представления сигналов. Согласно рис. 5.1.8 выберем эти базисные функции f{t) и fit) так:

I О (для других /),

(5.1.32)

72/Г iT<t<T,

\ О (для других /).

Эти два сигнала иллюстрируются рис. 5.1.8, а. Импульсные характеристики фильтров, согласованных с этими сигналами, равны

V2/7-

О Г/2 Г ЗГ/2

>/27г L 1-1 <2if

О 772 Г 3772

V/i=r/2 -

О Г/2 Г ЗГ/2

q т т ЗГ/2

А,()=/,(Г-/)

о 7/2 Г 37/2

О Г/2 Г ЗГ/2

Рис. 5.1.8. Базисные функции и отклики согласованных фильтров на сигнал 5,(0- /j(0 для примера 5.1.2

[ о (для других /),

{Jiff 0<t<T, о (для других /).

(5.1.33)

Они иллюстрируются на рис. 5.1.8, Ь.

Если передан s[t), то сигналы на выходе согласованных фильтров и y-Xt) (без

шумов) имеют вид, показанный на рис. 5.1.8, с. Поскольку берутся отсчёты выходных сигналов в точке t = T, то видим, что yXт)-jzЛT. а ySDO. Заметим, что

\АТ = < - это энергия сигнала. Вектор сигналов, формируемый на выходе согласованных фильтров в точке t = Т, равен

г, г.

(5.1.34)

где n = у,„{Т) и =32,,(г) - шумовые компоненты на выходе согласованных фильтров, определяемые так:

yjT)=nU)f,{t)dt, к = \,2. (5.1.35)

Ясно, что е{п1) = Е у,ХТ) = о . Дисперсии шумовых компонент на выходе фильтра = E[yUT)] = f ( E[nitHx)]fXt)f,{t)dtdx =

= i o I { - x)f,{t)f,{x)dtdx = iN, I" f,{t)dt = tN,. Видим, что ОСШо для первого согласованного фильтра

р. (f

(5.1.36)

ОСШ„ =-:- =

-2 IN,,

(5.1.37)