Вектор принимаемого сигнала (одномерный) для двоичной AM равен

г = ± + у{Т), (5.1.46)

где Уп(т)- гауссовская случайная величина с нулевым средним и с дисперсией а] yjVq. Следовательно, условные ФПВ p{r\s) для двух сигналов

-ехр

па,.

-ехр

(5.1.47)

(5.1.48)

Поэтому метрики РЛ/(г,8) и PMrjSj) равны

РМ{г\Si) = p-p(r\s)= ехр

РМ{г\s,)(\-p)-р{г\) = ехр

(5.1.-49)

(5.1.50)

J По:

Если PM[r,s)>РМ[г,&2)< выберем s как переданный сигнал; в противном случае 1 выберем 2. Такое правило решения можно выразить так:

Но , 7i.

(5.1.51)

PM(r,s,)

PM(r,s,) 1-Р так что (5.1.51) можно выразить так:

(5.1.52)

2<jI

(5.1.53)

ИЛИ. что эквивалентно.

Vi-ia;ln = AA,ln. (5.1.54)

Это окончательная формула, определяющая оптимальный детектор. Она предполагает вычисление корреляционной метрики c(r,s,) = r/ и ее сравнение с порогом

iAoln {\-р)/р . Рисунок 5.1.10 иллюстрирует две сигнальные точки 5, и Sj. Порог, эзначенный т,,, делит вещественную ось на две области, скажем /?, и Л,, где R одержит совокупность точек, которые превышают т,,, а Л, содерлсит совокупность точек, которые меньше т,,. Если гф > т,,, выносится решение, что был передан сигнал s, а если < - решение, что был передан сигнал 5. Порог зависит от Tq и р. Если p = j.

то Т/, = о. Если р> 2, то сигнальная точка s более вероятна и т <О. В этом случае область i?, больше, чем 7?2, так что более вероятно выбрать решение 5,, чем . Если p<j - имеем противоположный случай. Таким образом минимизируется средняя вероятность ошибки.

Область Л,

Область R,

Рис. 5.1.10. Представление пространства сигналов, иллюстрирующее работу оптимального детектора для двоичной ЛМ

Интересно отметить, что в случае неравных вероятностей для вычисления порога необходимо знать не только априорные вероятности передачи символов, но и спектральную плотность шума . Когда p = j, порог нулевой, и знание не требуется.

Мы завершаем этот раздел доказательством того, что правила решения, основанные на правиле максимального правдоподобия, минимизируют среднюю вероятность ошибки, когда все М сигналов равновероятны. Обозначим через область в Лмерном

пространстве, в котором мы принимаем решение о том, что передан сигнал s„it), когда принят вектор г - г, г, ...Гд, . Вероятность ошибочного решения при передаче 5,„(/) равна

где /г,*, - дополнение /?„. Средняя вероятность ошибки

ш=1 m\ ™ »- -

Замечаем, что Р{е) минимизируется, если выбирается сигнал s„, в том случае, когда

р{г\„ больше, чем (/Is) , для всех тфк .

Если М сигналов не равновероятны, вышеприведённое доказательство можно обобщить и показать, что правило МАВ минимизирует среднюю вероятность ошибки.

(5.1.55)

(5.1.56)

5.1.4. Последовательный детектор максимального правдоподобия. Алгоритм Витерби

Если модулированный сигнал без памяти, то последовательный детектор, описанный в предыдущем разделе, является оптимальным в смысле минимизации средней вероятности ошибочного приёма символов. С другой стороны, если передаваемый сигнал имеет память, т.е. сигналы, переданные на последовательных сигнальных интервалах, между собой зависимы, оптимальный детектор - это детектор, который основывает свои решения на наблюдении последовательности принимаемых сигналов на последовательных сигнальных интервалах. Ниже опишем два различных типа алгоритмов детектирования последовательности символов. В этом разделе опишем алгоритм максимального правдоподобия для детектирования последовательности символов, который ищет минимум евклидова расстояния траекторий (путей) на решётке, которая характеризует память переданного сигнала. В следующем разделе мы опишем алгоритм, который выносит

посимвольное решение по правилу МАВ, основанное на наблюдении последовательности сигнальных интервалов.

Чтобы разработать алгоритм максимального правдоподобия для детектирования последовательности символов, рассмотрим в качестве примера ДБНП (МК21)-сигнал, описанный в разд. 4.3.2. Его память характеризуется решёткой, показанной на рис. 4.3.14. На каждом сигнальном интервале имеем сигнал двоичной AM. Следовательно, имеются два возможных передаваемых сигнала, соответствующих сигнальным точкам .S, = -s = -J, где <<д - энергия на бит. Выход согласованного фильтра или корреляционного демодулятора для двоичной AM на к-м сигнальном интервале можно выразить так:

г=± + п,, (5.1.57)

де п/. - 1ауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией а1Ы,/2. Следовательно, условные ФПВ для двух возможных переданных сигналов равны

па..

2а?.

. (5.1.58)

Теперь предположим, что мы наблюдаем последовательность выходов согласованных фильтров /, ...г. Поскольку канальный шум считается гауссовским центрированным и

белым, а сигналы f{l 1Т), f(l-jT) ортогональны для 1ф j, следует is;?/? J = О, /V у. Следовательно, шумовая последовательность n я, ...п также белая. Поэтому для любой

переданной последовательности s" совместные ФПВ для i\ г, ...г. можно выразить как произведение их собственных ФПВ, т.е.

K-JlnaJ

(5.1.59)

где s]!" = или -vi"=-л/ • Тогда по заданной последовательности (г, г, ) на выходе согласованного фильтра или корреляционного демодулятора детектор определяет последовагельность s" = 5"\52"\...Лд", которая максимизирует условнуро ФПВ

p{r,r,...r,\s"). Такой детектор называется .максимачьио правдоподобны. пос.чедовате.пьпы.м детекторо.и.

Взяв логарифм от (5.1.59) и опуская слагаемое, не зависящее от (г, г, ...г-), находим, что эквивалент МП детектора последовательности - это детектор, выбирающш! последовательность s", которая минимизирует евклидово расстояние

D{rJ") = t{\-<"f- (5-1.60)

При поиске на решётке последовательности, которая минимизирует евклидово расстояние D(r,s"), может показаться, что мы должны вычислить расстояния для всех возможных последовательностей. Например, для ДБНП, которая использует двоичную модуляцию, общее количество последовательное гей равно 2, где АГ число отдельных

14* 211