Для равновероятных ортогональных сигналов все вероятности ошибки на символ равновероятны, и они возникают с вероятностью

м

м

(5.2.22)

М-\ 2*-Г

Далее имеется (*) возможностей путей, при которых из к переданных битов п

приняты с ошибкой. Следовательно, среднее число ошибочных битов на А:-битовый символ равно

Х"Й = Й/ (5.2.23)

а средняя вероятность ошибки на бит точно определяется делением (5.2.23) на А: - число бит на символ. Таким образом,

2*- Р,

к»\.

(5.2.24)

10-2

ю я I

10-4

10-*

Кривые зависимости вероятности ошиб-

ки на бит от ОСШ на бит cf, / даны на -

рис. 5.2.5 для М = 2, 4, 8, 16, 32 и 64.

Эти кривые показывают, что с увеличением числа сигналов М можно уменьшить ОСШ на бит, требуемое для заданной вероятности ошибки на бит. Например, чтобы достичь Р-\0, для Л/ = 2 требуется ОСШ на бит немного больше, чем 12 дБ, но если М увеличить до 64 сигналов (А: =6 бит/символ), требуемое ОСШ на бит станет равным примерно 6 дБ. Таким образом, реализуется экономия выше б дБ (сокращение в 4 раза) в передаваемой мощности (или энергии) для достижения - 10 при увеличении числа сигналов М от 2 до 64. Каково минимальное значение ff, I Nq для достижения произвольной малой вероятности ошибки при М -> оо ? На этот вопрос ответим ниже.

Объединённая граница для вероятности ошибки. Рассмотрим влияние роста М на вероятность ошибки для ортогональных сигналов. Чтобы облегчить математический анализ, сначала найдём верхнюю границу для вероятности ошибки на символ, которая намного проще, чем точная формула (5.2.21).

Напомним, что вероятность ошибки для двоичных ортогональных сигналов даётся формулой (5.2.11). Теперь будем рассматривать детектор для М ортогональных сигналов

-4 0 4 8 12 16 ОСШ на бит, Yj, дБ

Рис. 5.2.5. Вероятность ошибки на бит для когерентного детектирования ортогональных сигналов

Эту границу в литературе чаще всего именуют аддитивной верхней границей (прп).

как такой, который выполняет М-1 двоичных решений между выходом коррелятора c(r,S), который содержит сигнал, и остальными М-1 выходами корреляторов c(r,s,„), 111 = 2, 3,М.

Вероятность ошибки ограничена сверху объединённой границей для вероятности М-1 событий. Это означает, что если Я, представляет событие, что C(r,s,) > с(г,8)для 1ф1,

тогда имеем Рд, = Р [J Е, Следовательно,

Р„ <(М-1)Д -(М-\)q{JN,) < Mq{JN,) . (5.2.25)

Эту границу можно упростить посредством верхней границы для Q{ЩT Имеем

0{Ж)<"-"" (5.2.26)

Таким образом,

р -*(,м-2,п2)2 (5-2.27)

При к -xi, что эквивалентно М -> со, вероятность ошибки экспоненциально стремится к нулю при условии, чтоd,, I больше, чем 21п2 , т.е.

(f,/7Vo>21n2 = l,39 (1,42 дБ). . (5.2.28)

Простая верхняя граница для вероятности ошибки, определяемая (5.2.27), подразумевает, что когда ОСШ на бит больше, чем 1,42 дБ. то мы можем достичь произвольно малую вероятность ошибки Р,. Однако эта объединённая граница не является очень плотной границей при достаточно низком ОСШ, что объясняется тем фактом, что верхняя граница для -функции в (5.2.26) является неточной. Действительно, посредством более тщательного исследования границ в гл. 7 показано, что верхняя граница (5.2.27) достаточно плотная при с / > 41п2. Для d, I< 41п2 плотная верхняя граница для Р„ определяется так:

Рд,<2е-*-)\ (5.2.29)

Следовательно, Р, О при к со при условии, что

({;,/7Vo>ln2 = 0,693 (-1,6дБ]. (5.2.30)

Таким образом, 1,6 дБ - это минимальное ОСШ на бит, требуемое для достижения произвольной сколь угодно малой вероятности ошибки в пределе, когда А: -> оо (М -> оо). Это минимальное значение ОСШ на бит (-1,6 дБ) названо пределом Шеииоии для канала с аддитивным белым гауссовским шумом.

5.2.3. Вероятность ошибки для М-позиционной биортогональной системы сигналов

Как указано в разд. 4.3, ансамбль из М = 2* биортогональных сигналов конструируется из у М ортогональных сигналов путем его дополнения сигналами, которые противоположны ортогональнь м сигналам. Так мы достигаем уменьшения сложности демодулятора для биортогональных сигналов относительно демодулятора такого же количества ортогональных сигналов, так как он требует лишь у М взаимных корреляторов или согласованных фильтров вместо М согласованных фильтров или взаимных корреляторов.

Чтобы рассчитать вероятность ошибки для оптимального детектора, предположим, что

был передан сигнал s{t), которому соответствует вектор s, = J О О ... О -. Тогда вектор принимаемого сигнала

г = [Щ + п, щ ... , (5.2.31)

где {и,,,} - взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией af, = т Ло • Оптимальный детектор выбирает решение в пользу сигнала, которому соответствует максимальное значение взаимной корреляции

c(r,s,„)-r-s,„ = X*-y„*. т = \,1,.ЛМ, (5.2.32)

причём знак наибольшего слагаемого используется для решения о том, передан ли сигнал 5,„(/) или-5,„(/). Согласно этому правилу решения вероятность правильного решения

равна вероятности того, что г, = + и, > О, и г,

т-1, 3,...,1М.Но

превышает по модулю

> 01 Г е-" dx

(5.2.33)

Вероятность правильного решения равна

мп-\

Из этой формулы, подставив выражение для р(г,), получим

1 fv+

c-"dx

W/2-1

(5.2.34)

где мы использовали ФПВ, определяемое (5.2.15). Окончательно вероятность ошибки на символ Рд/ = 1 - Р.

Вероятность Р и, следовательно, можно, численно рассчитать дл различных значений Мпо (5.2.34). Кривые на рис. 5.2.6 иллюстрируют зависимость Рм как функцию от 6,1 Nq, где if, = , дляМ-2,4, 8,16,32.

Видим, что эти кривые похожи на те, которые определяют систему ортогональньк сигналов (см. рис. 5.2.5). Однако в этом случае вероятность ошибки для Л/ = 4 больше, чем при М = 1. Это объясняется тем, что на рис. 5.2.6 показана зависимость для Рм- Если бы мы показали зависимость эквивалентной вероятности ошибки, то можно было бы видеть, что кривые при Л/= 2 и Л/= 4 совпадают. Как и в случае ортогональных сигналов при М 00 (при кх>) требуемое минимальное значение <4 / Nq для достижения произвольно малой вероятности ошибки равна -1,6 дБ, т.е. пределу Шеннона.

5.2.4. Вероятность ошибки для симплексных сигналов

Теперь рассмотрим вероятность ошибки для М симплексных сигналов. Напомним из разд. 4.3, что симплексные сигналы образуют ансамбль из М одинаково коррелированных сигналов с коэффициентом взаимной корреляции р„„ =-1/(М-1). Эти сигналы имеют

одинаковое минимальное расстояние /2 между соседними сигнальными точками в М-мерном пространстве, как у ортогональных сигналов. Они достигают такое взаимное разделение посредством передаваемой энергии Л/-1)/М, которая меньше, чем требуется для ортогональных сигналов,.в {М-\)1 М раз. Следовательно, формула для вероятности ошибки системы симплексных сигналов такая же, как для ортогональных сигналов, но достигается экономия в ОСШ на