Аппроксимация вероятности ошибки для больших значений М и для больших ОСШ можно получить по первой аппроксимации /?q (о,.)- Для Щ/М»\ и 0 <7t />q0,) хорошо аппроксимируется так:

Яе,(0,)--/со80,е-". (5.2.60)

Поставив (5.2.60) в (5.2.56) и выполнив замену переменной 0,. на и - yjly sin0, найдем

Jcos0.e--"0.«Jjj" .-"Idu

( \ ( \ --

= 20( si п ] - 20(V2 sin j, где к - log, М У,,-ку. Заметим, что эта аппроксимация вероятности ошибки хороша для

всех значений М Например, когда М = 2 и М = 4, мы имеем Р.-Р- 2Q{j2y~, что

хорошо совпадает (за исключением множителя 2) с точным значением вероятности, данной (5.2.57).

Эквивалентную вероятность ошибки на бит для М-позиционной ФМ скорее утомительно вычислить с учетом её зависимости от отображения А;-битового блока в соответствующее значение фазы сигнала. Если для такого отображения используется код Грея, два А:-битовых блока, соответствующие сигналам с соседними значениями фаз, отличаются только на один бит. Поскольку более вероятные ошибки, обусловленные действием шума, приводят к выбору сигнала с соседним значением фазы вместо верного выбора, большинство Л-битовых блоков содержат ошибки только в одном бите. Следовательно, эквивалентная вероятность ошибки на бит для М-позиционной ФМ хорошо аппроксимируется выражением

Р, = Р„1к. (5.2.62)

Наша трактовка демодуляции сигналов ФМ предполагает, что демодулятор располагает совершенной оценкой фазы несущей. На практике, однако, фаза несущей определяется по принятому сигналу путем использования некоторых нелинейных операций, которые приводят к неоднозначности фазы. Для примера в двоичной ФМ сигнал часто подвергается квадратированию, чтобы снять модуляцию, затем образованный сигнал с удвоенной частотой фильтруется и делится по частоте на 2 для того, чтобы получить оценку частоты несущей и фазы ф. Эти операции приводят к неоднозначности

фазы несущей на 180°. Аналогично в четырёхфазовой ФМ принимаемый сигнал возводится в четвертую степень, чтобы снять цифровую модуляцию, а затем четвёртая гармоника частоты несущей фильтруется и делится на 4 для того, чтобы выделить компоненту несущей. Эти операции приводят к компоненте частоты несущей, содержащей оценку фазы несущей ф, но возникают неоднозначности фазы на ±90° и на 180° при оценке фазы. Следовательно, мы не имеем точную оценку фазы несущей в демодуляторе.

Проблема неоднозначности фазы, возникающей при оценке фазы несущей ф, может быть преодолена путём использования дифференциальной ФМ (ДФМ) вместо абсолютной ФМ. При дифференциальной ФМ кодирование информации осуществляется посредством разности фаз между соседними переданными сигналами, а не самой абсолютной фазы, как при обычной ФМ. Например, в двоичной ДФМ информационный символ 1 передаётся со

Метод однократной фазоразностной (или относительной фазовой) модуляции был впервые предложен в 1959 г. Н.Т. Петровичем [ ], а многократной фазоразностной модуляции в 1972 г. Ю.Б. Окуневым [ ].

сдвигом фазы несущей на 180° относительно предыдущего значения фазы несущей, в то время как информационный символ О передаётся без сдвига фазы. В четырёхфазной ДФМ относительный сдвиг фаз между соседними сигнальными интервалами равен О, 90° ,180°, и -90° в зависимости от информационных символов 00, 01, 11 и 10 соответственно. Обобщение на случай Л/>4 очевидно. Сигналы ФМ, получаемые при таком процессе кодирования, называют дифференциально-кодированными. Такое кодирование выполняется относительно простой логической схемой, предшествующей модулятору.

Демодуляция сигнала при дифференциальном кодировании ФМ может выполняться, как описано выше, с игнорированием неоднозначности фазы. Так, принимаемый сигнал демодулируется и детектируется на каждом сигнальном интервале в одно из М возможных значений фазы. За детектором имеется относительно простое устройство сравнения фаз, которое сравнивает фазы демодулированных сигналов на двух соседних сигнальных интервалах с тем, чтобы извлечь информацию.

Когерентная демодуляция для ФМ с дифференциальным кодированием приводит к большей вероятности ошибки, чем вероятность ошибки, достигаемая при абсолютном фазовом кодировании. При ФМ с дифференциальным кодированием ошибка при демодуляции фазы сигнала на данном интервале будет обычно возникать при ошибочном декодировании на любом из двух соседних сигнальных интервалов. Это особенно характерно для ошибок с вероятностью ниже 0,1. Следовательно, вероятность ошибки М-позиционной ФМ при дифференциальном кодировании приблизительно вдвое больше вероятности ошибки для Л/-позиционной ФМ с абсолютным кодированием фазы. Однако увеличение вероятности ошибки вдвое ведёт к относительно малым потерям в ОСШ.

5.2.8, Дифференциальная ФМ (ДФМ) и её характеристики качества

Сигнал дифференциально-кодированный фазовой модуляции (ДФМ) позволяет использовать вид демодуляции, который не требует оценки фазы несущей. Вместо этого принимаемый сигнал на заданном сигнальном интервале сравнивается по фазе с принятым сигналом на предыдущем сигнальном интервале. Для детальной разработки предполохсим, что мы демодулируем сигнал ДФМ путём умножения г(/) на coslnfj и smlnfj и интегрируем произведения на интервале Т. На к-м сигнальном интервале выход демодулятора равен

COs(e -ф) + „ Sin(e, - ф) + А7,2

или, ЧТО эквивалентно,

*=Л"**+"*. (5.2.63)

где - комплексное число, 9 - фазовый угол переданного сигнала на к -м тактовом интервале, ф - фаза несущей и н. =а?,+7/72-вектор шума. Аналогично принятый сигнальный вектор на выходе демодулятора на предыдущем сигнальном интервале равен

V-.=Vfe*-"*A.-,- (5.2.64)

В фазовом детекторе решение принимается по разности фаз между двумя

комплексными величинами. Эквивалентно мы можем проектировать на r и использовать фазу результирующего комплексного числа, т.е. получим

Поскольку не требуется оценки фазы, ДФМ часто рассматривается как техника некогерентной связи. Мы придерживаемся точки зрения, что ДФМ представляет вид цифровой модуляции фазы в экстремальном случае, когда требуется оценка фазы только от предьадущего символьного интервала.

-Ук , = gy-* +.Йе(*"Ч . +л/е-(* -\ . (5.2.65)

откуда при отсутствии шума может быть точно определена разность фаз 9; -9 1. Таким образом, значение rjl, не зависит от фазы несущей. Дифференциально кодированные сигналы ФМ, которые демодулируются и декодируется описанным выше способом, называют обычно дифференциальной ФМ (ДФМ).

Демодуляция и детектирование ДФМ с использованием согласованных фильтров иллюстрируются рис. 5.2.11. Если импульс g(t) прямоугольный, .согласованные фильтры можно заменить интеграторами со сбросом.

Теперь рассмотрим эволюцию характеристики качества (вероятности ошибки) демодулятора и детектора ДФМ. Точный расчёт величины вероятности ошибки для М-позиционной ДФМ очень сложен, исключая случай М=2. Наибольшая трудность связана с определением ФПВ для фазы случайной величины rrl , определяемой (5.2.65). Однако, как мы теперь покажем, легко получить аппроксимацию характеристики качества ДФМ.

Принимаемый сигнал

cos 2jt/./

Генератор

sin 2к/

Согаасо-

ванный

фильтр

Согласованный фильтр

Стробирующее устройство

Задержка наГ

Стробирующее устройство

Фазовый компаратор

Выходное решение

Рис. 5.2.11. Блок-схема демодулятора ДФМ

Без потери общности предположим, что разность фаз 9; - 9.,, - О. Далее,

экспоненциальные множители е"-""* и е-**"* в (5.2.65) можно включить в гауссовские шумовые компоненты и без изменения их статистических свойств. Следовательно,

гг*, в (5.2.65) можно выразить так:

Vii s+ V?(«t + "I i) + пЛ-х (5.2.66)

Сложность определения ФПВ фазы определяется слагаемым nl-x- Однако при

больших ОСШ, представляющих практический интерес, слагаемое мало по

сравнению с доминирующей компонентой шума Если мы пренебрежём

слагаемым nl-i и нормируем а;г* , делением на 7, то получим новый ряд метрик, по которым выносится решение:

x = V + Re(«,-b «; ,),

(5.2.67)