каждой сигнальной точки, нормированные по А, даны на рисунке. Предполагая, что все сигнальные точки равновероятны, получаем для средней переданной мощности сигнала

ср =i(i + i) = £::(«L+i), (5.2.76)

тае (flf„,, а„„)-координаты сигнальных точек, нормированные по А. Два сигнальных ансамбля (а) и (с) на рис. 5.2.15 содержат сигнальные точки, которые лежат на сетке прямоугольника и имеют Р = 6А. Сигнальный ансамбль {Ь) требует переданную

среднюю мощность Р.р=в,2,А, а ансамбль (d) требует Р- 4,1ЪА. Следовательно,

четвёртый сигнальный ансамбль требует примерно на 1 дБ меньше мощности, чем первые два, и на 1,6 дБ меньше мощности, чем третий, для того, чтобы достичь той же вероятности ошибки. Это сигнальное созвездие известно как лучшее восьмиточечное КАМ созвездие, так как оно требует наименьшей мощности при заданном минимальном расстоянии между сигнальными точками.

Для d>\в имеется намного больше возможностей для выбора сигнальных точек КАМ в двухмерном пространстве. Для примера мы можем выбрать круговые многоуровневые созвездия для М = 16, как показано на рис. 4.3.4. В этом случае сигнальные точки при заданной амплитуде поворачиваются по фазе на 4 я относительно сигнальных точек соседних уровней амплитуд. Это созвездие 16 КАМ является обобщением оптимального созвездия 8 КАМ. Однако круговое созвездие 16 КАМ не является наилучшим 16-точечным созвездием КАМ в канале с АБГШ.

Прямоугольное сигнальное созвездие КАМ имеет отчётливое преимущество с точки зрения простоты генерирования, как два сигнала AM, переданные на квадратурных по фазе несущих. Кроме того, оно легко демодулируется. Хотя оно не являются наилучшим М-позиционным сигнальным созвездием при КАМ для Л/ > 16, средняя переданная мощность, требуемая для достижения заданного минимального расстояния, лишь ненамного больше, чем средняя мощность, требуемая при наилучшем сигнальном созвездии КАМ. Исходя из этих соображений, прямоугольное Л/-позиционное сигнальное созвездие КАМ наиболее часто используется на практике.

Для прямоугольных сигнальных созвездий при Л/ = 2*, где к - четно, сигнальное созвездие КАМ эквивалентно сумме ДВ30С сигналов AM на квадратурных несущих, причём

каждый имеет сигнальных точек. Поскольку сигналы в квадратурных

компонентах можно точно разделить в демодуляторе, вероятность ошибки для КАМ легко определить по вероятности ошибки АМ. Конкретнее вероятность правильного решения для М-позиционной системы КАМ равна

е=(1-л7 (5-2.77)

где Р - вероятность ошибки для л/л/ -позиционной AM с половинной средней

мощностью в каждом квадратурном сигнале эквивалента КАМ. Несколько модифицируя выражение для вероятности ошибки в М-позиционной AM, получаем

Л7=2

Г 1 1

1--7= О

(5.2.78)

Независимая обработка квадратурных компонент возможна только в ненскажающем (однопутевом) канале (прп).

где ср/о ~ среднее ОСШ на символ. Следовательно, вероятность ошибки на символ для М-позиционной КАМ равна

м = 1-(1-Л7Г- (5 2.79)

Подчеркнём, что этот результат точен при Л/ = 2*, когда к четно. С другой стороны, если к нечётно, нет эквивалентной -позиционной системы AM. Однако здесь нет проблемы, поскольку всегда легче определить вероятность ошибки для прямоугольного ансамбля сигналов. Если мы используем оптимальный детектор, который основывает свои решения на использовании дистанционных метрик, определяемых (5.1.49), относительно просто показать, что вероятность ошибки на символ имеет плотную верхнюю границу

1-20

{M-\)N,

<40

{M-\)Nj

(5.2.80)

для всех Л > 1, где "г~ - среднее ОСШ на бит. Кривые вероятности ошибки на символ даны на рис 5.2.16, как функции от среднего ОСШ на бит.

4 8 12 16 ОСШ на бит. дБ

Рис. 5.2.16. Вероятность ошибки на символ для КАМ

Для непрямоугольных сигнальных созвездий КАМ можем получить верхнюю границу для вероятности ошибки, используя объединённую границу. Очевидная верхняя граница

.(M-i)avte)72o

где й/* - минимальное евклидово расстояние между сигнальными точками. Эта граница может быть неплотной, когда М велико. В этом случае можем аппроксимировать Рм, заменяя М-1 на М„, где М„ - наибольшее число ближайших точек, которые имеют

расстояние cfl от любой точки созвездия.

Интересно сравнить характеристику качества КАМ и AM для заданного объёма сигналов М, поскольку оба типа сигналов являются двухмерными. Напомним, что для М-позиционной ФМ вероятность ошибки на символ аппроксимируется так:

( i- "1

P«2Q V2y,sinT7 , (5.2.81)

где - ОСШ на символ. Для М-позиционной КАМ мы можем использовать выражение (5.2.78). Поскольку вероятность ошибки определяется аргументом -функция, можем сравнить аргументы q для двух сигнальных форматов. Отношение двух обсуждаемых аргументов равно

3/(М-1)

- л -ШМ-Л ШаЖ М СЗУ - 1 Т¥ЛТТЛ¥»ОТЛТТ¥ ¥¥Л Л . 1Л1 ¥ Л Л Т ¥ 1 ¥ Г» гж Л II

Например, когда М-4, имеем = 1 Следовательно, 4-позиционная ФМ и 4-позиционная КАМ дают сходные характеристики качества для одинаковых ОСШ на символ. С другой стороны, когда М > 4, находим, что > 1, так что М-позиционная КАМ даёт лучшую характеристику качества, чем М-позиционная ФМ. Таблица 5.2.1 иллюстрирует выигрыш в ОСШ системы КАМ относительно ФМ для некоторых значений М. Например, видно, что система 32 КАМ имеет выигрыш по ОСШ на 7 дБ относительно системы 32 ФМ.

Таблица 5.2.1. Выигрыш в ОСШ М-позиционной КАМ по отношению к М-позиционной ФМ

5.2.10. Сравнение цифровых методов модуляции

Методы цифровой модуляции, описанные в этой главе, можно сравнить различными 1 путями. Например, можно их сравнить на основе ОСШ, требуег.:ого дл дост;Спг1л заданной вероятности ошибки. Однако такое сравнение не будет достаточно осмысленным, если не будут выполняться определённые требования, такие как фиксированная скорость передачи данных или, что эквивалентно, фиксированная полоса частот. Имея это в виду, рассмотрим требования по полосе при различных методах модуляции.

Для многофазных сигналов требуемая полоса частот - это просто полоса эквивалентно низкочастотного сигнального импульса g(J), которая зависит от его подробных характеристик. Для наших целей предположим, что g(t) - это импульс длительности Г, а