где р- комплексный коэффициент корреляции двух сигналов л„(/)и который

можно выразить как р=рехр(7ао). Случайные величины шума и,, и п-совместно гауссовские с нулевыми средними и равными дисперсиями.

Оптимальный детектор. Оптимальный детектор наблюдает случайные величины

fia he

= г, где г, = г, + jr и rj = г + jr,, и выносит свое решение на основе

апостериорных вероятностей P(s„,r), /и = 1,2. Эти вероятности можно выразить так:

,() . (5.4.11)

P(s,r)>p(sjr)

Р(К П= Д-. w=l,2.

и, следовательно, оптимальное правило решения можно выразить в виде

или, что эквивалентно.

(5.4.12)

Отношение ФПВ в левой части (5.4.12) - это отношение правдоподобия, которое мы обозначим так:

Л(г) =

(5.4.13)

Правая часть (5.4.12) - отношение двух априорных вероятностей, которое принимает значение 1, когда два сигнала равновероятны.

ФПВ р{г S,) и plr Sj) можно получить путём усреднения условной ФПВ р{г 5,ф) по случайной фазе несущей с ФПВ р{), т.е.

/{•0 = ГНИ5™,ФМфЦ- (5.4.14)

Мы выполним интегрирование (5.4.14) для специального случая, когда два сигнала ортогональны, т.е. р = О. В этом случае выходы демодулятора

f\ = По + К = 2 созф++ 7(28 sin ф+

где (п,, «,,, «2, «25)" взаимно некоррелированные и, следовательно, статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними (смотри задачу 5.25). Значит, совместную ФПВ для г -системных ФПВ. Следовательно,

(5.4.15)

Г\с li Ic Is

можно выразить как произведение

Речь идет об ортогональности дву.ч комплексны.ч эквиваленгны.\ низкочастотны.\ сигналов л,,(/) и s)Jt) , что предполагает ортогональность в усиленном смысле вещественны.\ полосовы.ч сигна.лов 5,(/) и л,(/) .

Это весьма ценное для теории некогерентного приема сигналов определение введено Л.М. Финком. в 1957 г. [ 1 (прп).

17-56

техр -

(5.4.16)

где а = 2g/Vo.

Равномерное распределение для фазы несущей ф представляет наибольшее незнание для детектора. Она называется ФПВ с наименьшим предпочтением для ф. В этом случае /(ф) = l/27t, О < ф < 27t. Подставив Дф) в интеграл (5.4.14), получим

27cJ

2g(/i С05ф+/- 51пф)

с/ф.

(5.4.17)

2g(r, созф + г, 51пф)

(5.4.18)

где /о(х)- модулированная функция Бесселя нулевого порядка, определенная (2.1.120).

При выполнении интегрирования, аналогичного (5.4.17) в предположении, что передан сигнал sii), получим результат

И-2.,2.к) = ехр

•1с 2.V

/•2с+2

(5.4.19)

(5.4.20)

Если подставить эти результаты в отношение правдоподобия, определяемое (5.4.13), получим результат

Таким образом, оптимальный детектор вычисляет две огибающие д/г, и г ч-г",

и соответствующие значения функции Бесселя IfS-jr] +rJo и /д2?д/rj + лц /а) для

того, чтобы сформировать отношение правдоподобия. Мы видим, что эти вычисления требуют знания дисперсии шума а. Затем отношение правдоподобия сравнивается с порогом P{s.IР{&, чтобы определить, какой сигнал передан.

Существенные упрощения в реализации оптимального детектора возникают, когда оба сигнала равновероятны. В этом случае порог равен единице и с учетом монотонного изменения функции Бесселя, показанного на рис. 5.4.2, правило оптимального детектирования упрощается:

(5.4.21)

Таким образом, оптимальный детектор основывает свое решение на двух огибающих Vi и V2c +25, И поэтому он называется детектором огибающей.

Рис. 5.4.2. График/о(х)

Мы видим, что вычисление отсчётов огибающих принимаемого сигнала на выходе демодулятора делает фазу сигнала не относящейся к делу при рещениях о том, какой сигнал передавался. Эквивалентно решение можно сделать на основе квадратов огибающих г, +г, и г г, .В этом случае детектор называется квадратичным.

Двоичные сигналы ЧМ являются примером двоичных ортогональных сигналов. Напомним, что в двоичной ЧМ мы используем две различные частоты, скажем /; и /,=/,+А/". Выбор минимального разноса частот А/" = /2-/, рассматривается ниже. Таким образом, эти сигналы можно выразить так:

5i(/) = V2cos2rt/;/, 0</<Г„

ф) = ЩЩсо1пи, o<t<i, -

и их эквивалентные низкочастотные представления

Ф) = Ш!1, o<t<l, фЩЩе, o<t<T,.

Принимаемый сигнал можно записать так:

К/) = дЙ7С08(2я/„,/ + ф„) + и(/), (5.4.24)

где ф„-фаза частоты несущей /„. Демодуляцию вещественного сигнала можно выполнить как показано на рис. 5.4.3, посредством четырех корреляторов с базисными функциями:

Alt) = л/з1п[(2я/; +2я/иА/>], т = 0,1

Четыре выхода корреляторов стробируются в конце каждого сигнального интервала и поступают на детектор. Если передается т-й сигнал, четыре отсчёта у детектора можно выразить так:

\[п\2п(к-т)А/т\ со24к-т)А/т\-1 .

2Tik-т)А/Т Ф"" 2iik-m)AfT

(5.4.23)

(5.4.25)

зшф„

+ п, А,/п=1, 2,

со2п{к-т)А/т\-\ 81п[2я(-/я)А/Г[ .

2iik-m)AfT 24k-m)AfT

(5.4.26)

где % и - гауссовские шумовые компоненты в выходных отсчётах.