несущей было рассмотрено Унгербоеком (1974) и МакКеншни (1979). Он был впоследствии использован для демодуляции МНФ Аулином и Сандбергом (1981) и др.

ЗАДАЧИ

5.1. Согласованный фильтр имеет частотнто .чарактеристику

a) Определите импульсную .характеристик} (/) , cootbctctbjtoujjto (/").

b) Определите сигналы, с которыми фильтр согласован.

5.2. Рассмотрите сигнал

{A/T)tcos2nfJ {0<t<T), О (для других г).

a) Определите импульсную характеристику фильтра, согласованного с этим сигналом

b) Определите вы.ход согласованного фильтра при / - Т

c) Допустим, что сигнал s(t) прошёл через автокоррелятор. Определите сигнал на выходе авто коррелятора при t - Т . Сравните ваш результат с результатом (Ь).

5.3. Эта щача касается характеристик сигналов ДФМ.

a) Предположим, что мы хотим передать последовательность данных

110100010110

посредством двоичной ДФМ. Пусть s{t)= Acos{2TifJ+ 0) представляет переданный сигнал на нскоторо.м сигнальном интервале длительностью Т. Определите фазу переданного сигнала для последовательности данных. Начните с 9 = О для передачи фазы первого бита.

b) Если последовательность данных не коррелирована, определите и нарисуйте спеюральнлто плотность мощности переданного сигнала ДФМ.

5.4. Для передачи информации двоичная цифровая система связи использует сигналы

.-?(,(/) = 0,0/<7, .\\{t) = Afi<(<T.

Делшдулятор выдает результат взаимной корреляции принимаелюго сигнала г(/) и л, (/) и стробируст выход коррелятора в люмент t = T.

a) Определите оптимальный детектор для канала с АБГШ и оптимальный порог, предполагая, что сигналы равновероятны.

b) Определите вероятность ошибки как функцию ОСШ. Насколько ОСШ надо поднять по сравнению с противоположными сигналами при одгааковой вероятности ошибки.

5.5. Метрики корреляции, даваемые (5.1.44), равны

C(r.s„,)- 22v™„ -ZL." = и..-Л/,

Покажите, гго эти корреляционные метрики эквивалентны метрикам

C(r.s„,) = 2£,-(4s„,(V-f

5.6. Рассмотрите эквивалентный низкочастотный сигнал .f/(/), 0<t-ST ,с энергией = J ()(.

Предположите, что этот сигнал искажается в канале с АБГШ, который представлен эквивалентным низкочастотным шумом z{t) . Таким образом, наблюдаемый сигнал равен

r,{f) = s,{t)+z{t)}d<t<T.

Принимаемый сигнал проходит через фильтр, который имеет эквивалентную низкочастотную импульсную характеристику h,{t).

Определите /(/) так, чтобы фильтр максимизировал ОСШ на своем выходе (в момент t = T).

5.7. Пусть 2(/)=x(/)+ jyif) является комплексным белым гауссовским шумовым процессом с нулевым средним и функцией автокорреляции ф..,()- 0(0 Пусть /„(/)>/=1,2,...Л, является ансамблем М ортогональных эквивалентных низкочастотных сигналов, определенных на интервале О < / < Г . Ыайдите

Л1 = \Х..М.

a) Определите дисперсию для ь}„.

b) Докажите, rro Е{Ы„ь} = О для кфт .

5.8. Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных на рис. Р5.8, используются для передачи двоичной последовательности по каналу с АБГШ.

5,(0

О -А

О -А

Рис. Р5.8

Принимаемый сигнал можно выразить так:

rM) = s,(i)z{})(<t<Ti = \:i,

где - гауссовский процесс с нулевым средним и автокорреляционной функцией

ф,,(х) = £[/(>( + )1=Ло5(т).

a) Определите переданную энерг по посредством 5, {/) и (/) и коэффициент взаимной корреляции этих сигна.лов р,2.

b) Предположим, что приёмник построен как когерентный детектор с использованием двух согласованных фильтров: один согласован с s(f), другой-с s-it). Нарисуйте эквивалентную

низкочастотную импульсную хар;исгеристику согласованного фильтра.

c) Нарисуйте свободные от шума отклики двух согласованны.х фильтров, если передаётся сигнал ()

d) Предположим, что приёмник состоит из двух взаимных корреляторов (умножителей, за которыми слсдтот интефаторы), работающих параллельно. Нарисуйте выход каждого интегратора как функцию времени на интервале О < / < Г, когда передаётся сигнал s- ().

e) Сравните рисунки, полученные в пп. (с) и (d). Объясните результат.

О ЗнсШ характеристики сигналов, дайте вырсшение для вероятности ошибки для этих двойных систем связи.

5.9. Допустим, -гто имеется комплексная гауссовская случайная величина z = .и:-i-, где ,у)-статистически независимые величины с нулевыми средними и дисперсией ") = (v)= cj Пусть

r-z-tn , где п. = III,. + 7>н,,

и определите г так:

r = a + jb.

Ясно, rтo а = х+п1 и b =y+ni,. Определите следующие ФПВ:

a) р{(1.Ь),

b) р(,ф), где и = 4а +Ь- , а ф =arc1g(6/«),

c) р{и).

Замечание: в (Ь) удобно определить ф = агс(/н,/яг), так что

1Я-56

Далее следует использовать соотношение

где /о (а) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

5.10. Троичная система связи передает один из трех сигналов s{t), О или -s{t) каждые Т секунд. Принимаемый сигнал равен r,{t) = s{t)+z{t), r,{f) = z{t) или r,{t) = -s{t)+z{t), тде z{t) - белый гауссовский шум с £[2(/)] = 0 и ф,.(г) = £г*(ф(г + т) =Л(,5(г). Оптимальный приёмник вычисляет корреляционные метрики

U=Re fr{ty(t)dt

и сравнивает U с порогами А и -А. Если U >А , принимается решение, что передан s{t). Если U <-А, принимается решение в пользу - s{t). Если -А <U < , то принимается решение в пользу нуля.

a) Определите три условных вероятностях ошибки: Р] при условии, что передан s{t), Р2 при условии, что передан - .v(/) и Рз при условии передачи 0.

b) Определите среднюю вероятность ошибки как функцию от порога А, предполагая, что три сигнала априорно равновероятны.

c) Определите велишну Л, которая лшнимизирует Р.

5.11. Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных на рис. P5.ll, используются для передачи двоишой информационной последовательности. Передаваемые с одинаковой вероятностью сигналы подвергается воздействию АБГШ с нулевым средним, который имеет эквивалентное низкочастотное предст;>вление z(/) с функцией корреляции

ф,,(т) -£[z*(/>(/+t)]= o5(t).

a) Какова энергия передаваемого сигнала?

b) Какова вероятность ошибки на бит, если в приёмнике используется когерентное детектирование?

c) Какова вероятность ошибки на бит, если в приёмнике используется некогерентное детектирование?

5.12. В разд. 4.3.1 было показано, что минимальный разнос частот для ортогонализации дво№шых сигналов ЧМ с когерентным детектированием равен Д/ = 1/27".

. 3774

Рис. Р5.П

Однако ещё меньшие значения вероятности ошибки возможны при когерентном детектировании ЧМ, если Д/ больше, чем 1 2Т. Покажите, что оптимальное значение Д/ равно 0.715/Г и определите вероятность ошибки для этой величины Д/.

5.13. Эквивалентные низкочастотные сигналы для трёх ансамблей сигналов показаны на рис. Р5.13.

Кажды11 ансамбль люжно использовать для передачи одного из четырёх равновероятных сообщений через канал с АБГШ. Эквивалентный низкочастотный шум z{t) имеет нулевое среднее и функцию корреляции ф„(т)= ?/д5(т).

a) Классифицируйте сигналы в ансамблях I, II и III. Другими словами, установите класс, к которому относится Kivnyibm сигнальный ансамбль.

b) Какова средняя передаваемая энергия ддя каждого сигнального ансамбля?