откуда 2б»33°,6. Таким образом,

Эта луночка была найдена в 1840 г. Клаузеном, При л = 2 мы получаем уравнение

2(х*-х-х-х- 1)2 -5л:3(л:Н-1)2 = 0.

Полагая х = у2, мы сведем это уравнение к двум возвратным уравнениям восьмой степени

у»Ч-у«+у+у+1±-/ -1 уЗ(у2+1) = о.

Решая эти уравнения известным методом подстановкой

y + -i- = 2, мы получим уравнения четвертой степени

z4 -3z2±/ -z+l = 0. (6)

Решая последние уравнения методом Феррари (см. Курс, стр. 239), мы получим для вспомогательного неизвестного и (в Курсе это неизвестное обозначалось символом а) кубическое уравнение

16иЗ -24«2 + 20« -5 = 0. (7)

Так как это уравнение, как легко видеть, неприводимо (не имеет рациональных корней), то его решение нельзя свести к решению квадратных уравнений. Следовательно, исходное уравнение также нельзя свести к квадратным уравнениям (ибо кории уравнения (7) рационально выражаются через корни уравнения (6)). Таким образом,

при /и = 5 и п = 2 квадрируемой луночки не суще-ствует.

При л = 3 мы получаем уравнение 3 (л:* + лг» -I- л:2 + лг + 1)2 - 5лг2 (л:2 + д: + 1)2 = 0.

Оно распадается (в поле Н{У, Уб)) на два возвратных уравнения четвертой степени, и потому его решение сводится к решению квадратных уравнений. Произведя вычи» рленйя, мы лег}{0 получим, что cos 26 = t, где

распадающееся на два возвратных уравнения

л:8 хт-If- х-\- - 2х*-\- х-\- х-\- X + \ = 0,

JfS 4 д;7 4 Jfб 4 д;5 4 4Д.4 4 д;3 4 Д.2 4 1 0.

После замены х-{--== у мы получим уравнения четвертой степени

у4 уЗ Зу2 2у 2 = 0. у4 уЗ Зу2 2у 4 = 0.

Решение первого уравнения не сводится к решению квадратных уравнений, потому что кубическое уравнение, получаемое по методу Феррари, неприводимо. Что же касается второго уравнения, то в поле /?(/3) оно распадается на два квадратных уравнения

где f[ = 2 - потому его решение сводится к решению квадратны:? уравнений. Таким образом,

при т = 9 и л = 1 решение уравнения (3) (точнее, одного из его неприводимых множителей восьмой сте П(ни) (9одтсц к решению квадратных уравнений,

луночка с углами 3 arccos/яь 100°.8 и 5 arccos/яь «168°,0 квадрируема.

Эта луночка также была найдена Клаузеном. При л = 4 мы получаем уравнение

4 (д;4 4 Д.З 4 Д.2 4 1 )2 5д; (д:3 4 2 1 , 1 )2 0.

Так же, как в случае л = 2, легко показать, что решение этого уравнения нельзя свести к решению квадратных уравнений. Таким образом,

при /те = 5 и л = 4 квадрируемой луночки не существует.

Рассмотрим, наконец, последний возможный случай: /и = 9 и л=1. В этом случае мы получаем приводимое уравнение

(л;8 4. Д.7 4. д-в 4. Д.5 4 д;4 jf 3 4 Д.2 4 д. 4 1 )2 9Д.8 0.

Попытаемся теперь найти соответствующую луночку. Легко видеть, что у уравнения (9) нет действительных корней. Следовательно, для любого интересующего нас корня J уравнения (3) (т. е. для любого корня второго из уравнений (8)) величина не действительна. Однако если бы этому корню соответствовала луночка с углом 6, то, поскольку S = cos29 + isin29, величина S + -- = 2cos29

была бы действительной. Полученное противоречие показывает, что

при от = 9 и п=\ квадрируемой луночки не существует.

Окончательный результат произведенного исследования можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Квадрируемые луночки существуют лишь в следующих пяти случаях:

т = 2, от = 3, т==3, т = 5, т = 5 п=1, л=1, « = 2, п=1, л = 3.