Ri i?2 с

(21)

Из равенства (20) следует известная геометрическая теорема, согласно которой для любой поверхности сумма -jr-h -j- зависит от направлений, в которых прове-

л1 л2

дены стороны прямоугольника dsi и ds2 - В самом деле, левая часть этого равенства безусловно не зависит от указанных направлений, следовательно, не может от них зависеть и правая часть.

прямоугольника действует сила натяжения, направленная наружу от прямоугольника.

Пусть величина поверхностного натяжения на единицу длины равна С (так называемая капиллярная постоянная). Тогда на стороны прямоугольника будут действовать две силы Cdsi, образующие между собой угол df3, и две силы Cds2, образующие между собой угол da. Из рис. 20 мы имеем:

, dsi „ ds2 da =-, df3= -.

-fti 212

Следовательно, равнодействующая двух сил Cdsi равна

Cdsids2 Cdsidp = ---,

a равнодействующая двух сил Cds2 равна

„, , Cds2dsi Cds2da =---.

Из условия равновесия всех сил, действующих на прямоугольник, мы имеем:

Р1-Р2 = С{ + ). (20)

ill Л2

Из наших рассуждений следует, что величины Ri и R2 суть не что иное, как радиусы кривизны кривых, образуемых при пересечении свободной поверхности с двумя плоскостями, перпендикулярными друг к другу и к касательной плоскости в центре взятой элементарной площадки.

Давление в весомой жидкости с удельным весом 7 определяется формулой (7). Применяя эту формулу к поверхности соприкосновения двух весомых жидкостей с удельными весами 71 и 72, (на рис. 21 изображены для примера две такие поверхности), мы будем иметь

Р1=Р2-Ъ, P2=P0-12Z.

Подставляя эти значения pi и р2 в уравнение (20), мы получим:

1 , 1 72 - 71

Эта формула позволяет при помощи измерения радиусов кривизны наблюдаемой поверхности соприкосновения определить величину капиллярной постоянной С. Однако существует более удобный способ определения С, о котором будет сказано ниже.

Из формулы (21) следует, что если разность •. удельных весов обеих жидкостей очень мала, то

уменьшение величины

72 -71 С

в п раз влечет

за собой геометрически подобное увеличение величин Ri,R2 и Z, определяющих поверхность соприкосновения, в п раз. При 72 = 71 влияние тяжести исчезает: соответствующие поверхности соприкосновения представляют собой так называемые минимальные поверхности. Если одновременно с приближением разности 72 - 71 к нулю отодвигать плоскость z = О в бесконечность,

то сумма --h - принимает постоянное зна-

л1 л2

чение, что дает минимальную поверхность с заданным объемом, простейшим примером которой является шаровая поверхность. Такие минимальные поверхности очень легко воспроизводятся при помощи мыльных пленок. В сферическом мыльном пузыре давление внутри больше наружного давления на величину

Рис. 21. Поверхности соприкосновения двух весомых жидкостей

Р1 -Р2 =

Множитель 4 в числителе получается потому, что в мыльном пузыре имеются две поверхности соприкосновения мыльной пленки с воздухом, поэтому в формулу (20) следует подставить 2С вместо С.

Если три жидкости 1, 2 и 3 соприкасаются между собой вдоль общей линии, то равновесие возможно только при условии, что силы поверхностного натяжения образуют уравновешенную систему. Следовательно, все три поверхности соприкосновения должны пересекаться между собой под вполне определенными углами (рис. 22). Эти углы легко найти, построив треугольник из сил поверхностного натяжения Ci2,Ci3,C23- Если величина С13 больше суммы ве-

Рис. 22. Равновесие трех сил поверхностного натяжения

Рис. 23. Краевой угол около поверхности твердого тела Следовательно, условием равновесия будет:

C12COS а + С23 = Ci3, где а есть так называемый краевой угол. Отсюда мы имеем:

cosa = %f. (22)

Если капиллярная постоянная для поверхности соприкосновения обеих жидкостей 1 и 2 известна, а угол а измерен путем наблюдения, то из равенства (22) можно определить разность С13 - С23, но каждая из величин Ci3 и С23 остается неопределенной. Разность С13 - С23 может быть и положительной и отрицательной. В последнем случае угол а > , что имеет место при соприкосновении, например, воздуха,

ртути и стекла (см. нижнюю часть рис. 21, где изображена капля ртути на стекле). Наконец, разность С13 - С23 может оказаться больше С12. В таком случае жидкость 2 покрывает тонкой пленкой всю поверхность твердого тела 3. Так ведет себя, например, керосин.

личин Ci2 и С23 , что имеет место, например, тогда, когда веществом 1 является воздух, веществом 2 - минеральное масло и веществом 3 - вода, то равновесие невозможно. В этом случае вещество 2, т.е. минеральное масло, растекается в виде очень тонкой пленки по всей поверхности воды, что можно наблюдать, например, на мокрых асфальтовых мостовых, когда из мотора автомобиля на мостовую падает несколько капель смазочного масла. Если же веществом 2 является расплавленный жир, то между водой и воздухом оно принимает форму плоской линзы (глазки жира в супе). Построение на рис. 22 соответствует именно этому случаю. Если одним из соприкасающихся веществ является твердое тело, то перемещения возможны только в направлении, параллельном поверхности твердого тела, и поэтому достаточно рассмотреть равновесие соответствующих составляющих сил поверхностного натяжения (рис. 23).