Эти кривые даны на рис. 3.4.2. Функциональную зависимость искажений D от битовой скорости R можно выразить как D(R) функцию искажение-скорость. Мы видим, что функция искажение-скорость для оптимального неравномерного квантователя лежит ниже, чем для равномерного квантователя. Поскольку квантователь превращает непрерывную амплитуду источника в дискретную, мы можем трактовать дискретные амплитуды как символы, скажем Зс = {х, 1 < < Z,} с соответствующими вероятностями [р}. Если отсчёты сигнала амплитуды статистически независимы, то на выходе квантователя имеем дискретный источник без памяти, и, следовательно, его энтропия

Я() = -Х p.logp,. (3.4.30)

Оптимальный разномерный квантователь

Оптимальньй неравномерный квантователь

Энтропийное кодирование

Функция искажение- * \ екоростьдля *Ч

гауееовского .

источника ДЛ)=2- \\\

\\ N Ч Vs \

-.---:---.-. N

2 3 4 5

r = log,/, бит/отсчёт

Рис. 3.4.2. Кривые зависимости искажение-скорость для гауссовского источника без памяти с дискретным временем

Для примера: оптимальный четырёхуровневый неравномерный квантователь для распределённой по Гауссу амплитуды приводит к вероятностям р, = р - 0,1635 для двух внешних уровней и Р2 Рг= 0,3365 для двух внзггренних уровней. В этом случае энтропия

дискретного источника я(х)= 1,911 бит/символ. Следовательно, при помощи энтропийного кодирования (кодирование Хаффмена) блоков выходных символов мы можем достичь минимальных искажений (-9 30 дБ) посредством 1.911 бит/символ вместо 2 бит/символ. Макс (1960) определил энтропию для дискретных символов источника после процесса квантования. Таблица 3.4.6 показывает значение энтропии при неравномерном квантовании. Зависимость RiD) для этого случая также показана кривой на рис. j,4.2 и обозначена как энтропийное кодирование.

Таблица 3.4.6. Энтропия выхода оптимального неравномерного квантователя гауссовской случайной величины (Макс, 1960)

Из этого обсуждения мы заключаем, что качество квантователя можно анализировать, когда известна ФПВ непрерывного выхода источника. Оптимальный квантователь с L = 2" >ровнями обеспечивает минимальное искажение D(R), где i? = log, Z, бит/отсчёт. Такого уровня искажений можно достичь простым представлением каждого квантованного отсчёта R битами. Однако возможно более эффективное кодирование. Дискретные выходь: квантователя характеризуются рядом вероятностей {р}, которые можно использовать для

расчёта эффективных неравномерных кодов для выхода источника (энтропийное кодирование). Эффективрюсть какого-либо метода кодирования люжно сравнить с функцией искажение-скорость или, что эквивалентно, с функцией скорость-искажение для дискретного времени и непрерывных амплитуд источника, характеризуемого данной ФПВ. Если мы сравним характеристики оптимального неравномерного квантователя с функцией искажение-скорость, мы найдём, например, что для искажения в 26 дБ энтропийное кодирование требует скорость на 0,4 бит/отсчёт больше, чем минимальная скорость, даваемая (3.4.8), а простое блоковое кодирование каждого символа требует скорость па 0,68 бит отсчёт больше, чем минимальная скорость. Мы также видим, что функции искажение-скорость для оптимального равномерного и неравномерного квантователей гауссовского источника асимптотически приближается к наклону -6 дБ/бит для больших R.

3.4.3. Векторное квантовапие

В предыдущ,их разделах мы рассмотрели квантование выходного сигн1ла непрерывного источника для случая, когда квантование выполняется последовательно по отдельным отсчётам, т.е скалярное квантование. В этом разделе мы рассмотрим совместное квантование блока символьных отсчётов или блока сигнальных параметров. Этот вид квантования называется блоковым или векторным квантованием. Оно широко используется при кодировании речи в цифровых сотовых системах связи.

Фундаментальный результат теории искажения заключается в том, что лучшую характеристику можно достичь векторным, а не скалярным квантованием, даже если непрерывный источник без памяти. Если, кроме того, отсчёты сигнала или параметры сигнала статистически зависимы, мы можем использовать зависимость посредством совместного квантования блоков отсчётов или параметров и таким образом достичь большей эффективности (более низкой битовой скорости) по сравнению с той, которая достигается скалярным квантованием.

Проблему векторного квантования можно сформулировать так. Имеем 17-мерный вектор X = Хт ... А,,} с п веш,ественными, непрерывными амплитудами компонент

[xi,l<k <п}, которые описываются СФПВ p(x,Xj..x,,). Путём квантования вектор X

превраш:ается в другой /7-мерный вектор X с компонентами {х., 1 < А: < и}. Выразим операции квантования оператором 0{.), так что .

х=е(Х),

(3.4.31)

где X - выход квантователя, когда на вход поступает вектор X.

В принципе векторное квантование блоков данных можно рассматривать как проблему распознавания образов, включающую в себя классификацию блоков данных через дискретное количество категорий или ячеек в соответствии с некоторым критерием точности, таким, например, как среднеквадратическая погрешность. Для примера рассмотрим квантование двумерных векторов Х= х,,х.]. Двумерное пространство разделяют на ячейки, как показано на рис. 3.4.3, где мы имеем произвольно выбранные шестиугольные ячейки {С}. Все входные векторы, которые попадают в ячейку С*,

квантуются в вектор Х, который на рис. 3.4.3 отмечен как центр шестиугольника. В

нашем примере иллюстрируются ь-ъ1 векторов, один для каждой из 37 ячеек, на которые разбито двумерное пространство. Обозначим ряд возможных выходных векторов как „{<k<l.

Рис. 3.4.3. Пример квантования в двухмерном пространстве

В общем, квантование и-мерного вектора X в и-мерный вектор X ведёт к ошибке

;рного

(х,х).

Среднее искажение по ряду входных векторов X

квантования или искажению d равно

ДХР(ХбСадХ,ХХеС = ]Р(ХеС,)Ц(Х,Х,)р(Х)Ж, (3.4.32)

где Р(ХеС;.)-вероятность того, что вектор X попадёт в ячейку С, а р(Х)-СФПВ п случайных величин. Как и в случае скалярного квантования, мы можем минимизировать D путём выбора ячеек {С, 1<Л<1} при заданной ФПВ р(х). Обычно используемая мера искажений - среднеквадратическая ошибка" (/2- норма) определяется как

,(Х,Х) = -(Х-Х)(Х-Х) = -Х;(х,-х,)

ИЛИ. в более общем виде, взвешенная среднеквадратическая ошибка

(3.4.33)

В интеграле (3.4.32) й далее обозначение й?Х следует понимать как \\dx - дифференциал объёма п-

мерного пространства векторов X, X, где - элементы вектора X (прп).